高考理科数学应用性问题复习（理科）
考点回顾
数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题，通过数学应用题，考查学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明。在高考中，应用题的考查已逐步成熟，主要从以下几方面考查。
1.考查函数的解析式、定义域、值域、单调性等有关知识的应用，考查构建函数模型并解决函数模型的能力；
2.考查数列特别是两类特殊数列及可化为这两类数列的数列求通项、求和等有关知识的应用；
3.考查三角函数特别是解三角形的有关知识在实际问题中的应用。
4.考查利用不等式及线性规划的有关知识求解实际生活中的最优化问题；
5.考查排列组合的基础知识的应用，考查学生的运算能力及分析解决问题的能力；
6考查概率统计的有关基础知识的应用，培养学生的实践能力。
一、经典例题剖析
例1. (07上海理)近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
分析：本题命题意图是考查函数、不等式的解法等基础知识，考查运用数学知识分析解决问题的能力。
解析（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 
，
，
，
．则2006年全球太阳电池的年生产量为 
(兆瓦)．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为
，则
．解得
．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到
．
点评：审清题意，理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。
例2. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交
元（
）的管理费，预计当每件产品的售价为
元（
）时，一年的销售量为
万件．（Ⅰ）求该分公司一年的利润
（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大，并求出的最大值
．
分析：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
解析：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为： 
．
（Ⅱ）
，令
得
或
（不合题意，舍去）．
，
． 在两侧
的值由正变负．
所以（1）当
即
时，
．
（2）当
即
时，
，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值
（万元）；若，则当每件售价为
元时，分公司一年的利润最大，最大值
（万元）．
点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键。
例3（07安徽文理）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.
分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学的知识分析和解决实际问题的能力。
解析：（1）我们有
（
）
（2）
，对反复使用上述关系式，得：
。①
在①式两边同乘以
，得：
②
由②－①，得
，即 
。
如果记
，
，则
，其中
是以
为首项，以
为公比的等比数列；
是以
为首项，以
为公差的等差数列。
点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键。
例4. 如图，甲船以每小时30
海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A1处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B1处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？（07山东理）
分析：本题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解决问题的能力。
解析：如图，连结
，
，
， 
是等边三角形，
，在
中，由余弦定理得
，
，
因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行
海里.
点评：连接，构造两个可解的三角形与是处理此题的关键，此外，还可连接
来解。
例5.（05辽宁理） 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结
果为A级的概率如表一所示，分别求生产
出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、
η分别表示一件甲、乙产品的利润，在
（I）的条件下，求ξ、η的分布列及
Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额
如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.
金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产
品的数量，在（II）的条件下，x、y为何
值时，
最大？最大值是多少？
（解答时须给出图示）
分析：本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力
解析（Ⅰ）解：
（Ⅱ）解：随机变量
、
的分别列是
（Ⅲ）解：由题设知
目标函数为 
作出可行域（如图），作直线
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上
的点M点与原点距离最大，此时
取最大值. 解方程组
得
即
时，z取最大值，z的最大值为25.2 .
点评：
例6. （06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
分析：本题考查排列组合的基本知识极运用知识分析解决问题的能力。
解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有
点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.
例7在
这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个
分析：本例命题意图是考查有排列组合知识及两个原理的运用。
解析：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有
种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有
，故共有＋＝24种方法，故选B
点评：本例是限制条件的排列、组合问题中的数字问题，要注意分类整合思想的运用。
例7. (07天津理)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
分析：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件
，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件
．由于事件
相互独立，且
，
．故取出的4个球均为黑球的概率为
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件
，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件
．由于事件
互斥，且
，
．故取出的4个球中恰有1个红球的概率为
．
（Ⅲ）解：可能的取值为
．由（Ⅰ），（Ⅱ）得
，
，
．从而
．
的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
的数学期望
．
点评：掌握概率的加法公式与乘法公式及数学期望公式，在列随机变量的分布列时，要注意所有的概率和为1。
例8（07全国I理）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，
表示经销一件该商品的利润。
（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率
；
（Ⅱ）求的分布列及期望
。www.xkb123.com
分析：本题命题意图是主要考察对立事件的概率以及分布列及期望的知识，考查学生的阅读理解能力及分析解决问题能力。
解析：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
（Ⅱ）的可能取值为
元，
元，
元．
，
，
．
的分布列为
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（元）．
点评：掌握对立事件的概率和为1，学会用间接法求解概率问题。
例8某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，
与水平地面的夹角为
, 
试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）
解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300），
直线l的方程为
即 
设点P的坐标为（x，y）， 则
由经过两点的直线的斜率公式 
由直线PC到直线PB的角的公式得，
要使tanBPC达到最大，只须
达到最小，由均值不等式
当且仅当
时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为 
由此实际问题知，
所以tanBPC最大时，∠BPC最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.
二、方法总结与2008年高考预测
（一）方法总结
1 解应用题的一般程序
（1）审：审即审题，它是解题的基础。首先通过阅读能准确理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步预测所属数学模型，这一步是基础
（2）建：建即建立数学模型，也就是将文字语言转化为数学语言，利用已有的数学知识，建立相应的数学模型。熟练掌握常见的基本数学模型，正确进行建“模”是解应用题的关键的一步。
（3）解：解即求解数学模型，得到数学结论。解题时， 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意优化过程。
（4）答：答即将数学结论还原给实际问题的结果。
2分析和解答应用题的基本思路如右图。
3中学数学中常见应用问题与数学模型
（1）最值问题——工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值；
（2）预测问题——经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决；
（3）优化问题——实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决；
（4）等量关系问题——建立“方程模型”解决；
（5）测量问题——可设计成“图形模型”利用几何知识解决；
（6）概率与统计问题——在出现如何有效配置资源以及与随机现象统计有关问题时，常用“概率与统计”模型。
（7）排列、组合应用文题——在排列与组合问题中，常常涉及“人或物的排列、组合、产品的抽样检测”等。
（二）2008年高考预测
通过对2007年高考试题及考纲分析,笔者认为.08年高考应用题试题数量会保持稳定,一般为两小一大。在小题中考查函数、数列、不等式、排列组合、概率等知识的应用，解答题仍会以概率统计为基本题型进行考察。因此要加强以上几方面训练。
三、强化训练
1 选择题
1. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额
①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠 某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )
A 413.7元 B 513.7元 C 546.6元 D 548.7元
解析 此人购买的商品原价为168+423÷90%=638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%+（638–500）×70%=450+96. 5=546.6元
答案
C
2. 某体育彩票规定 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )
A 1050元 B 1052元 C 2100元 D 2102元
解析 从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花1050×2=2100元
答案
C
3. 一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒的加速度匀加速开走，那么 （ ）
A.人可在7秒内追上汽车 B.人可在10秒内追上汽车
C.人追不上汽车，其间距离最近为5米 D.人追不上汽车，其间距离最近为7米
解析：本题是一道加速行程问题，需要运用物理知识建立数学模型，即通过加速运动建立二次函数关系式.若经t秒人刚好追上汽车，则S+25=6t,由S=
t2,得t2－6t+25=0
t2－12t+50=0.考虑距离差d=(S+25)－6t=t2－6t+25=(t－6)2+7,故当t=6秒时，d有最小值7米，即人与汽车最少相距7米，故选D.
答案D
4. .设导弹发射的事故率为0.01,若发射导弹10次，其中出事故的次数为ξ,则下列结论正确的是( )
A.Eξ=0.1 B.P(ξ=k)=0.01k·0.9910-k C.Dξ=0.1 D.P（ξ=k）=C
0.99k·0.0110-k
解析：∵P(ξ=k)=C·0.01k(1-0.01)10-k,Eξ=nP=0.1.选择A
答案 A
5. 某人从2002年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利
率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为
A.a(1+r)7 B. 
［(1+r)7-(1+r)］C.a(1+r)8 D. ［(1+r)8-(1+r)］
解析：2007年1月1日，2006年1月1日，…，2002年1月1日存入钱的本息分别为：a(1+r)，a(1+r)2，…，a(1+r)6.相加即可，选择B
答案B
6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有( )
A.A
种
B.A
种
C.A·Ｃ
种 D.A·C
种
解析：插空法.空车位插入8辆车的9个空格，故有C·A.选择.D
答案：D
7某单位有三个科室，为实现减员增效，每科室抽调2人去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排一人，问共有多少种不同的安排方法( )
A.75种 B.42种 C.30种 D.15种
解析：分两类：(1)返回两人来自同一科室，返回有A
种，故有C
·Ａ=6；(2)两人来自不同的科室，返回有2+1=3,故有(C
C)·3=36种.共有42种. 选择B
答案：B
8从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )
A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种
解析:
从反面考虑，7人任意选4人的 方法数减去全选男生的 方法数即为所求
故既有男生又有女生的不同的选法共有
。
答案：D
9采用系统抽样的方法，从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是 ( )
A.
B.
C.
D.
解析：抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，为
答案C
10抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是 ( )
A.
B.
C.
D.
解析：成功次数ξ服从二项分布，每次试验成功的概率为1-
=
，故在10次试验中，成功次数ξ的期望为×10=
答案 D
11、设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为 ( )
A.15 B.10 C.20 D.5
解析：因为15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为150×
答案 B
12银行计划将某客户的资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润。年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户。为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为 （ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
解析：设客户投资为a，客户的回报率为x，依题意0.1a≤0.4（1+0.1）a+.06（1+0.35）a-ax≤0.15a,解得0.1≤x≤0.15，选择C。
答案 C
2 填空题
1. 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是
答案:
2. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是 (结果用最简分数表示).
解析: 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是
3. 两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5;战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3,那么两名战士得胜希望大的是
解析：乙 甲获胜的期望与方差分别是:(Eξ)甲=0.4×1+0.1×2+0.5×3=2.1,(Dξ)甲=(2.1-1)2×0.4+(2.1-2)2×0.1+(2.1-3)2×0.5=0.89.
乙获胜的期望与方差分别是:(Eξ)乙=0.1×1+0.6×2+0.3×3=2.2,(Dξ)乙=(2.2-1)2×0.1+(2.2-2)2×0.6+(2.2-3)2×0.3=0.456.
∵乙的期望高于甲，且乙的水平比甲稳定，故得胜希望大的是乙.
答案: 乙
4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在
（元）/月收入段应抽出
人
解析：由图知，在（元）/月收入段应抽出100×
=25人
答案25
3 解答题
1. 要建一间地面面积为20
，墙高为
的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）。已知含门一面的平均造价为300元
，其余三面的造价为200元，屋顶的造价为250元。问怎样设计储藏室地面矩形的长与宽，能使总价最低，最低造价是多少？
解：设地面矩形在门正下方的一边长为
，则另一边的长为
，设总造价为
元，则
因为 
，当且仅当
（
即
时 取“=”，所以，当时有最小的值
此时
，
答：当储藏室地面矩形在门正下方的一边长为
，另一边的长为
时，能使总造价最低造价为17000元。
2. 某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.
（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x (m)的函数关系式f(x)；
（2）若由于地形限制，长、宽都不能超过16m，求f(x)的定义域;
（3）在条件（2）下，污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
解析：①因污水处理水池的长为
.
由题设条件
即函数定义域为[12.5,16]
②先研究函数
上的单调性，
对于任意的
则
又
故函数y=f(x)在[12.5,16]上是减函数. ∴当x=16时，y取得最小值，此时
综上，当污水处理池的长为16m，宽为12.5m时，总造价最低，最低为45000元.
3. 我校现有教职员工500人，为了开展迎2008奥运全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练，每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计，每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼的人有20%下次去户外锻炼. 请问，随着时间的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？稳定在多少人左右？
解：设第n次去户外锻炼的人数为
，去室内锻炼的人为
，则有：
，
，
，
，
，∴随着时间的推移，去户外锻炼的人数将稳定在100人左右 。
4. 已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据
| t（时） | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
| y（米） | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b
（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8
00至晚上20
00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动
4解 （1）由表中数据，知T=12，ω=
由t=0,y=1
5得A+b=1
5
由t=3,y=1
0,得b=1
0 所以，A=0
5,b=1 振幅A=，∴y=
(2)由题意知，当y>1时，才可对冲浪者开放 ∴>1, 
>0 ∴2kπ–
,即有12k–3<t<13k+3 由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24 ∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9
00至下午15
00
5. 甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是
，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是
，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是
，且乙通过测试的概率比丙大.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数的数学期望
.
5解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、依题意得：
即
或 
（舍去）
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是
、
.
（Ⅱ）因为
，
，
，所以=
。
6. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．
解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且
，
．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是
．
所以该人参加过培训的概率是
．
（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布
，
，
，即的分布列是
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0.001 | 0.027 | 0. 243 | 0.729 |
的期望是
．
（或的期望是
）
7某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A、2个B，组装一件Q产品要6个A、8个B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个 已知P产品每件利润1000元，Q产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元
7解 设分别生产P、Q产品x件、y件，则有
，
，
，设利润S=1000x+2000y=1000(x+2y)，要使利润S最大，只需求x+2y的最大值，
x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n)
∴
， ∴
，有x+2y=(2x+3y)+
(x+4y)≤×7000+×6000 当且仅当
解得
时取等号，此时最大利润Smax=1000(x+2y)==400(万元)
另外此题可运用“线性规划模型”解决 （万元/百台）=240（元/台）
8某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元
（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案 ①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？
8解 由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n),则f(n)=50n–［12n+
×4］–72=–2n2+40n–72
(1)获纯利润就是要求f(n)>0,∴–2n2+40n–72>0，解得2<n<18 由n∈N知从第三年开始获利
（2）①年平均利润=
=40–2(n+
)≤16 当且仅当n=6时取等号 故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6,②f(n)=–2(n–10)2+128
当n=10时，f(n)max=128 故第②种方案共获利128+16=144（万美元）
故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案
4 创新试题
1. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.
(Ⅰ）若存款利率为x,x∈（0，0.048)，试写出存款数量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；
（Ⅱ）问存款利率为多少时，银行可获得最大收益？
解析：(Ⅰ)由题意知，存款量g(x)=kx,银行应该支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048).
(Ⅱ)设银行可获得收益为y，则y=0.048kx－kx2=－k(x－0.024)2+0.0242k,
当x=0.024时，y有最大值，∴存款利率定为0.024时，银行可获得最大收益.
2. 某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费.
设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量.已知一个司机在某个月每次出车都超过了3 km,且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a.
(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差.
(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.
解析 （1）由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1.
∴100a2+7a=0.3,∴1
000a2+70a-3=0,a=
,或a=-
(舍去)，即a=0.03,
∴100a2+3a=0.18,4a=0.12,∴ξ的分布列为
| ξ | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 | 300 |
| P | 0.12 | 0.18 | 0.20 | 0.20 | 0.18 | 0.12 |
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km)
Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964;
(2)由已知η=3（ξ-3）+6=3ξ-3(ξ>3,ξ∈Z),∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)
Dη=D(3ξ-3)=32Dξ=8 676.
四、复习建议
1.函数、数列、不等式应用题、排列组合问题以选择填空为主。
2概率与统计问题训练以解答题为主。