08高考文科数学立体几何题型与方法

专题六：高考文科数学立体几何题型与方法（文科）

一、考点回顾

1．平面

（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

（2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。

（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。

（4）证共面问题一般用落入法或重合法。

（5）经过不在同一条直线上的三点确定一个面.

2. 空间直线.

（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。

（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

　　推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.

（5）两异面直线的距离：公垂线的长度.

空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.

是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. （l₁或l₂在这个做出的平面内不能叫l₁与l₂平行的平面）

3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.

（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.

（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）

（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）

（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.

4　　　  若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），

得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA.

5　　　　  三垂线定理的逆定理亦成立.

直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.

[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]

b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

4. 平面平行与平面垂直.

（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.

（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.

[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.

（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）

（4）两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.

两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）

注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.

（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.

推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.

证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，

因为则.

（6）两异面直线任意两点间的距离公式：（为锐角取加，为钝角取减，综上，都取加则必有）

（7）最小角定理：

（为最小角，如图）

5.　锥、棱柱.

（1）棱柱性质

①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）

（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）

②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.

（2）棱锥性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.

（3）球：

a.球的截面是一个圆面.

①球的表面积公式：.②球的体积公式：.

b.纬度、经度：

①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.

②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.

附：①圆柱体积：（为半径，为高）

②圆锥体积：（为半径，为高）

③锥形体积：（为底面积，为高）

（1）①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，，，，

得.

注：球内切于四面体：。

②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.

6. 空间向量.

（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

（2）空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含x+y+z≠1).

注：设四面体ABCD的三条棱，其

中Q是△BCD的重心，则向量用即证.

对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足，

则四点P、A、B、C是共面

（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.

①令=(a₁,a₂,a₃),，则

，， ，

∥ 。

。　　

(用到常用的向量模与向量之间的转化：

)

空间两个向量的夹角公式

（a＝，b＝）。

②空间两点的距离公式：.

b.法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.

c.用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.

②.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).

③.点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

④直线与平面所成角(为平面的法向量).

⑤利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.

二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.

７．知识网络

二、经典例题剖析

考点一 空间向量及其运算

例题1. 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，

试判断：点与是否一定共面？

分析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对，使或对空间任一点，有。

解：由题意：，

∴，

∴，即，

所以，点与共面．

点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

例题2. 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．

分析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示．

证明：如图，因为在上，且，所以．同理，又，所以

．又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面内，所以平面．

点评：空间任意的两向量都是共面的．

考点二 证明空间线面平行与垂直

例题3. 如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，点D是AB的中点，　（I）求证：AC⊥BC₁；　（II）求证：AC ₁//平面CDB₁；

分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.

解法一：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁；

（II）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴ DE//AC₁，∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

解法二：∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C₁C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C₁C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C₁（0,0，4），B（0,4，0），B₁（0,4，4），D（，2,0）

（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC₁.

（2）设CB₁与C₁B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC₁.

点评：平行问题的转化：

面面平行线面平行线线平行；

主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．

例题4. （北京市东城区2007年综合练习）如图，在棱长为2的正方体的中点，P为BB₁的中点.

　 （I）求证：；

　 （II）求证；

　 （III）求异面直线所成角的大小.

分析：本小题考查直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

解法一：（I）连结BC₁

　　　　　　 由正方体的性质得BC₁是BD₁在

　　　　　　　平面BCC₁B₁内的射影

　　　　　　　，

　　　　　　　所以

　　　 (II)又，

　　　　　　　

　 （III）延长

　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　由于正方体的棱长为2，

　　　　　　　

　　　　　　　即异面直线所成角的大小为arccos.　

解法二：（I）如图建立空间直角坐标系.

　　　 则B（2，2，0），C（0，2，0）

　　　 B₁（2，2，2），D­₁（0，0，2）.

　　　

　　　 ………………3分

　　　

　　　

　 （II），

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 （III），

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　即异面直线所成角的大小为arccso　

点评：证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即可.这些从本题证法中都能十分明显地体现出来

考点三 求空间图形中的角与距离

根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法另也可借助空间向量求这三种角的大小.

例题5. （河南省开封市2007届高三年级第三次质量检测）在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AD=DC=.

_­　 （1）求直线A₁C与D₁C₁所成角的正切值；

　 （2）在线段A₁C上有一点Q，且C₁Q=C₁A₁，求平面QDC与平面A₁DC所成锐二面角的大小.

分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法　求二面角的大小也可应用面积射影法，向量法办　

解法一：（I）

　　　 为异面直线AC与D₁C所成的角　　　　　　　　　　

　　　 连AD，在Rt△ADC中，CD=，AD=2，

　 （II）过Q作EF（在平面AC内）使EF//AB，

　　　

　　　 连B₁C、CF、DF，（面EFCD即平面QDC；面A₁B₁CD即平面A₁DC）

　　　 即为二面角A₁—DC—Q的平面角.　　

　　　 ~.

　　

　　　 ，即所求二面角大小为30°　　　　　　　　　

　　　 解法二：（I）同解法一（I）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 （II）建立空间直角坐标系，

　　　

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　

　　　 即平面QDC与平面A₁DC所成锐二面角为　　

点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强　 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.

例题6. （福建省福州三中2008届高三第三次月考

）如图，正三棱柱的所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点

　 （1）求证：；

　 （2）求二面角的大小（用反三角函数表示）；

　 （3）求点到平面的距离。

分析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中，要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.

解答：（1）证明：建立如图所示，

　

∵　

　　

∴

即AE⊥A₁D，  AE⊥BD　 ∴AE⊥面A₁BD

（2）设面DA₁B的法向量为

由　∴取

设面AA₁B的法向量为  

由图可知二面角D—BA₁—A为锐角，

∴它的大小为arcos　

（3），平面A₁BD的法向量取

则B₁到平面A₁BD的距离d=

点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.

考点四 探索性问题

例题7. （四川省成都市2007届高中毕业班第二次诊断性检测）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，点A₁在底面ABC内的射影O恰为线段AC的中点.

　 （I）求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值；

　 （II）已知点D为点B关于点O的对称点，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

分析：1.先假设存在，再去推理，下结论：

2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，

然后再根据条件给出证明或计算。

解：由已知

　　　 可得AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC.

　　　 故以O为坐标原点，建立如图所示的

　　　 空间直角坐标系O—xyz，则

　　　 A（0，－1，0），B（，0，0），A₁（0，0，），

C（0，1，0），=（0，1，）.

　　　 由=，可得B₁（，1，）.

　　　 =（，2，），=（0，2，0）.

　　　 设平面AB₁C的法向量为n=（x，y，1）.

　　　 则

　　　 解得n=（－1，0，1）.

　　　 由

　　　 而侧棱AA₁与平面AB₁C所成角，即是向量与平面AB₁C的法向量所成锐角的余角，

　　　 ∴侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值

　 （II）由已知得D（－，0，0）

　　　 假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z）.

　　　 .

　　　 ∵DP∥平面AB₁C，n=（－1，0，1）为平面AB­₁C的法向量，

　　　

故存在点P，使DP∥平面AB₁C，其坐标为（0，0，），即恰好为A₁点.

点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。

例题8. (2007安徽·文) 如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．

（I）求证：平面平面；

（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．

解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角．

依题意，所以

在中，；

在中，，

．

，．

故当时，直线与平面所成的角为．

解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

于是，，，．

从而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由．

得

可取，又，

于是，

即，．

故交时，直线与平面所成的角为．

解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．

从而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由，得

可取，又，

于是，

即．

故交时，

即直线与平面所成角为．

考点五 折叠、展开问题

例题9．（2006年辽宁高考）已知正方形　、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为　

(I) 证明平面;

(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值　

分析:充分发挥空间想像能力，抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.

解析: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

EB//FD,且EB=FD,

四边形EBFD为平行四边形　

BF//ED.

,平面　

(II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD　

ACD为正三角形,AC=AD.

CG=GD.

G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角　即.

设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, .

 在RtADE中, .

,　　

点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。

考点六 球体与多面体的组合问题

例题10．设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.

解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，

∴AB⊥平面MAD，

由此，面MAD⊥面AC.

记E是AD的中点，从而ME⊥AD.

∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.

设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.

不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.

设球O的半径为r，则r＝

设AD＝EF＝a,∵S_ΔAMD＝1.

∴ME＝.MF＝,

r＝≤＝-1。

当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.

∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.

点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。

三、方法总结与2008年高考预测

（一）方法总结

1．位置关系：

（1）两条异面直线相互垂直

 证明方法：证明两条异面直线所成角为90º；证明两条异面直线的方向量相互垂直。

（2）直线和平面相互平行

证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）直线和平面垂直

证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）平面和平面相互垂直

证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。

2．求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离

求法：利用公式（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量）

（2）点到平面的距离

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法，利用公式（其中A为已知点，B为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量）

3．求角

（1）两条异面直线所成的角

求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。

（3）平面与平面所成的角

求法：“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cosα，注意到我们要求的角为α或π－α）；向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。

　　我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！

4．解题注意点

（1）我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。

（2）我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“∠α是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。

（3）用向量来求两条异面直线所成角时，若求出cosα＝x，则这两条异面直线所成的角为α＝arccosx

（4）在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要或，若求出的角为锐角，就用，若求出的钝角，就用。

（5）求平面与平面所成角的时，若用第、种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。

（二）2008年高考预测

从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，1至3个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解． 高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力 . 近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。

高考对立体几何的考查侧重以下几个方面：

　　1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的选择题型外，

还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合。

2．从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。

3．从方法上来看，着重考查公理化方法，如解答题注重理论推导和计算相集合；考查转化的思想方法，如经常要把立体几何问题转化为平面几何问题来解决；考查模型化方法和整体考虑问题、处理问题的方法，如有时把形体纳入不同的几何背景之中，从而宏观上把握形体，巧妙地把问题解决；考查割补法、等积变换法，以及变化运动的思想方法，极限方法等。

4．从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。

四、强化训练

1　　　　　　　　　  选择题

1．空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面

A．可能有3个，也可能有2个　　B．可能有4个，也可能有3个

C．可能有3个，也可能有1个　　D．可能有4个，也可能有1个

2．下列命题中正确的个数是（　　）

①三角形是平面图形　②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形　　④矩形一定是平面图形

A．1个　　B．2个　 C．3个　 D．4个

3．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题　　　　　　　 （　　）

　 ①若　　　　　　　　　　　　②若

　 ③　　　　　　　　　　　　 ④

　 其中正确的命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0个　　　　　　　　　　B．1个　　　　　　　　　　C．2个　　　　　　　　　　D．3个

4．如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底

面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC

所成角的大小为　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．90°　　　　　　　　　　　B．60°

C．45°　　　　　　　　　　　D．30°

5．设有如下三个命题：甲：相交直线、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．

当甲成立时，

A．乙是丙的充分而不必要条件　　　B．乙是丙的必要而不充分条件

C．乙是丙的充分且必要条件　　　  D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

6．若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是，l与a、l与b所成的角都是，

则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．[]　　　　　　 B．[]　　　　　　　 C．[]　　　　　　D．[]

7　在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A₁到截面AB₁D₁的距离是(　　)

A　　　　　　　B　　　　　　　　　　 C　　　　　　　　　　D　

8　在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则(　 )

A　a不和b垂直，但可能a∥b　　　　　 B　a可能和b垂直，也可能a∥b

C　a不和b垂直，a也不和b平行　　　 D　a不和b平行，但可能a⊥b

9　在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(　　)

A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　D　

10．如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是底面

A₁B₁C₁D₁的中心，则O到平面AB C₁D₁的距离为　（B）

　　A、　B、　C、　D、

11．△ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30°和45°,若AB=3,BC= ,AC=5,则AC与a所成的角为

(A)60°　　　  (B)45°　　　 (C)30°　　　  (D)15°

12．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　 D．

（二）填空题

13　设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号) 

①X、Y、Z是直线；②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面；④X、Y、Z是平面.

14 已知∠AOB＝90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于______　

15．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________　

16．空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________　

（三）解答题

17. 已知，从平面外一点引向量

，

（1）求证：四点共面；

（2）平面平面．

18. 如图，是正四棱锥,是正方体，其中．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（Ⅲ）求到平面的距离．

19. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．

　 （1）求证：平面PAD；

　 （2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，  

 直线平面PCD？

20．（安徽省合肥市2007年高三第三次教学质量检测）已知，在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为AD的中点。

 （1）证明：EM⊥AB；

 （2）求直线BM和平面ADE所成角的大小。

21. （山东省济宁市2006—2007学年度高三年级第一次摸底考试）如图，四面体C—ABD，CB = CD，AB = AD， ∠BAD = 90°.E、F分别是BC、AC的中点.

　 （Ⅰ）求证：AC⊥BD；

　 （Ⅱ）如何在AC上找一点M，使BF∥平面MED？并说明理由；

　 （Ⅲ）若CA = CB，求证：点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点.

22. （广东省惠州市2008届高三第二次调研）正方体，，E为棱的中点．

(Ⅰ) 求证：；

(Ⅱ) 求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

强化训练题答案

1．【答案】D解析： 分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.

2．【答案】B解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。

3．【答案】B解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中b//α，或均有，

故只有一个正确命题

4．【答案】B解析： 平移SC到，运用余弦定理可算得

5．【答案】C解析：当甲成立，即“相交直线、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“、m中至少有一条与平面β相交”也成立．

6．【答案】D解析： 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值。

7 【答案】 C　 解析 设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，∵B₁D₁⊥A₁O₁，B₁D₁⊥AA₁，∴B₁D₁⊥平面AA₁O₁，故平面AA₁O₁⊥AB₁D₁，交线为AO₁，在面AA₁O₁内过A₁作A₁H⊥AO₁于H，则易知A₁H长即是点A₁到平面AB₁D₁的距离，在Rt△A₁O₁A中，A₁O₁=，AO₁=3，由A₁O₁·A₁A=h·AO₁,可得A₁H=。

8　【答案】C　　解析　如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，

∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角　

9 【答案】 D　　解析  (特殊位置法）将P点取为A₁，作OE⊥AD于E，连结A₁E，则A₁E为OA₁的射影，又AM⊥A₁E，∴AM⊥OA₁，即AM与OP成90°角　答案  D

10．【答案】B　 解析：取B₁C₁的中点M，连B₁C交BC₁于，取C₁的中点N，连MN，则MN又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中OM平行于平面ABC₁D₁.　 则O到平面ABC₁D₁距离转化为M到平面ABC₁D₁的距离，即MN=，故选B

11．【答案】C　 解析：如图，AE⊥平面α于E,CD⊥平面α于D,EF∥AC,EF交CD于F,则∠ABE=30⁰,∠CBD=45⁰,由此得CD=4,AE=1.5,∴EF=2.5,而EF=AC=5 ∴∠FED=30⁰,即AC与平面α所成的角为30⁰,∴选(C)

12．【答案】C　 解析：连接矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，则AO＝BO＝CO＝DO，则O为四面体ABCD的外接球的圆心，因此四面体ABCD的外接球的半径为，体积为.选C.

13 【答案】 ②③　 解析　①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例　

14　【答案】－　　解析　在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CA⊥OC交OA于A，CB⊥OC交OB于B，则AC=1，，OA=，BC=，OB=2，Rt△AOB中，AB²=6，△ABC中，由余弦定理，得cosACB=－　答案　－

15 【答案】 60°　 解析　设一个侧面面积为S₁，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为θ,则cosθ=,∴θ=60°　答案  60°

16　【答案】a　 解析　以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,∴PQ⊥AB,

同理可得PQ⊥CD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在Rt△APQ中，PQ=a.答案　a

17．解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，

∵，

∴共面；

（2）∵，又∵，

∴

所以，平面平面．

18．解：(Ⅰ) 连结AC , 交BD于点O , 连结PO , 则PO⊥面ABCD , 又∵ , ∴, ∵, ∴ ．

 （Ⅱ） ∵AO⊥BD , AO⊥PO , ∴AO⊥面PBD , 过点O作OM⊥PD于点M，连结AM , 则AM⊥PD ,　 ∴∠AMO 就是二面角A-PD-O的平面角,

又∵, ∴AO=,PO=

 , ∴ ,

即二面角的大小为 ．　　　　　　　　　　　　 

 (Ⅲ)用体积法求解：即有 解得，

即到平面PAD的距离为

19．证：（1）取CD中点G，连结EG、FG

∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG//AD，FG//PD，

∴平面EFG//平面PAD，

∴ EF//平面PAD．　

（2）当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF^平面PCD.

证明：∵G为CD中点，则EG^CD，∵PA^底面ABCD∴AD是PD在平面ABCD内的射影。　∵CDÌ平面ABCD，且CD^AD，故CD^PD　 ．又∵FG∥PD∴FG^CD，故ÐEGF为平面PCD 与平面ABCD所成二面角的平面角，即ÐEGF=45°，从而得ÐADP=45°，  AD=AP.由，得PE=CE.又F是PC的中点，∴EF^PC.

由CD^EG，CD^FG，得CD^平面EFG，∴CD^EF，即EF^CD，

故EF^平面PCD．　　　

20．解法一：

　 （1）如图，以C为原点，CA、CB、CE所在的射线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

不妨设BD=1，则E（0，0，2），A（2，0，0），D（0，2，1），B（0，2，0）

由M是AD的中点，得M

 

　

（2）

设面ADE的法向量n=（x，y，z）

由

又

∴直线BM和平面ADE所成角为。

解法二：

（1）如图，过M作MN⊥AB，由DB⊥面ABC……2分

∵M是AD中点，N是AB中点，CA=CB，

∴CN⊥AB

由三垂线定理，得EM⊥AB

（2）设CB和ED延长线交于F，不妨设BD=1

易求

设B到面AEF的距离为h，由

设直线BM和平面ADE所成角为

。

21．解：（Ⅰ）取BD的中点O，连接AO，CO，在△BCD中，

　　∵BC = DC，∴CO⊥BD，同理AO⊥BD

　　而AO∩CO = O，∴BD⊥平面AOC，

　　又平面AOC，∴AC⊥BD.

　 （Ⅱ）取FC的中点M，连接EM，DM，

　　∵E是BC的中点，∴BF∥EM，

∵平面MED，∴BF∥平面MED，

∴FC的中点M即为所求.

　 （Ⅲ）∵△ABD是等腰直角三角形，∠BAD = 90°，

∴AO = BO = DO；∵CA = CB = CD，CO是公共边，

∴△COA≌△COB≌△COD；

∴∠COA=90°，即CO⊥AO，

又CO⊥BD，AO∩BD = O，∴CO⊥平面ABD

即点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点 。

22．解析：主要考察立体几何中的位置关系、体积．

 (Ⅰ)证明：连结，则//，　

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面．　　

∵面，∴，

∴．　

（Ⅱ）证明：作的中点F，连结．

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，∴ ．

∵是的中点，∴，

又，∴．

∴四边形是平行四边形，//，

∵，，

∴平面面．　

又平面，∴面．　

（3）．　

．　

（四）创新试题

１．如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1.

　 （I）求证：A₁C//平面AB₁D；

　 （II）求二面角B—AB₁—D的大小；

　 （III）求点c到平面AB₁D的距离.

２. 如图，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长都为a，P为A₁B上的点。

　 （1）试确定的值，使得PC⊥AB；

　 （2）若，求二面角P—AB—C的大小；　　　　　

　 （3）在（2）条件下，求C₁到平面PAC的距离。　　

创新试题解析答案

1．解法一（I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，

∴四边形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A₁C.

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D.

　 （II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG.

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，　∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，　∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B—AB₁—D的平面角

设A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B—AB₁—D的大小为

　 （III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.

在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，

则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离.

由△CDH∽△B₁DB，得

即点C到平面AB₁D的距离是

解法二：

建立空间直角坐标系D—xyz，如图，

　 （I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

设A₁A = AB = 1，

则

 

，

 

　 （II）解：， ，

设是平面AB₁D的法向量，则，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是

设二面角B—AB₁—D的大小为θ，，

∴二面角B—AB₁—D的大小为

　 （III）解由（II）得平面AB₁D的法向量为，

取其单位法向量

∴点C到平面AB₁D的距离

2．解法一：（1）当时，PC⊥AB

取AB的中点D′，连结CD′、PD′

∵△ABC为正三角形，　∴CD′⊥AB。

当P为A₁B的中点时，PD′//A₁A， ∵A₁A⊥底面ABC， ∴PD′⊥底面ABC，

∴PC⊥AB 

（2）当时，过P作PD⊥AB于D，

如图所示，则PD⊥底在ABC

过D作DE⊥AC于E，连结PE，则PE⊥AC

∴∠DEP为二面角P—AC—B的平面角。

又∵PD//A₁A， ∴， ∴

∴

又∵

∴ 　 ∴∠PED=60°

即二面角P—AC—B的大小为60°　

（3）设C₁到面PAC的距离为d，则

∵PD//A₁A　 ∴PD//平面A₁C　∴DE即为P点到平面A₁C的距离。

又PE=

∴

∴解得　

即C₁到平面PAC的距离为　

解法二：以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示，则B（a，0，0），A₁（0，0，a），C，设

（1）由

即， ∴P为A₁B的中点。

即 时，PC⊥AB。　

（2）当

即

设平面PAC的一个法向量n=

则即

取

又平面ABC的一个法向量为n₀=（0，0，1）

∴

∴二面角P—AC—B的大小为180°－120°=60°　

（3）设C₁到平面PAC的距离为d，

则

即C₁到平面PAC的距离为 ．

五、复习建议

1．位置关系的判断，根据概念、性质和定理进行判断，认定是正确的，要能证明；认定上不正确的，只需举反例.注意作图辅助说明.

2．证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.

3．空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法另也可借助空间向量求这三种角的大小.

4．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用

5．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.