08高考理科数学解析几何题型与方法

专题五：高考理科数学解析几何题型与方法（理科）

一、考点回顾

1．直线

(1).直线的倾斜角和斜率

 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.

(2) .直线的方程

a.点斜式：；　b.截距式：；

c.两点式：；　d.截距式：；

e.一般式：，其中A、B不同时为0.

(3).两直线的位置关系

两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

设直线：=+，直线：=+，则

∥的充要条件是=，且；⊥的充要条件是=-1.

(4).简单的线性规划．

a.线性规划问题涉及如下概念：

①存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.

②都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.

③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.

④满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.

⑤所有可行解组成的集合，叫做可行域.

⑥使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.

b.线性规划问题有以下基本定理：

①一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形.

② 凸多边形的顶点个数是有限的.

③ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.

C.线性规划问题一般用图解法.

2. 圆

(1).圆的定义：平面内到定点等于定长的点的集合（或轨迹）。

(2).圆的方程

a.圆的标准方程

（r＞0），称为圆的标准方程，

其圆心坐标为（a，b），半径为r.

特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.

b.圆的一般方程

（＞0）称为圆的一般方程，

其圆心坐标为（，），半径为.

当=0时，方程表示一个点（，）；

当＜0时，方程不表示任何图形.

　　  c.圆的参数方程

　　  圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

　　　   　　　　　　　　　（θ为参数）

　　　  　　　（θ为参数）

(3).直线与圆

3.圆锥曲线

(1).椭圆

a.定义

定义1：平面内一个动点到两个定点F₁、F₂的距离之和等于常数(大于F₁F₂)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．

定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常

b.图形和标准方程

c.几何性质

d.常用结论

①过椭圆的焦点的弦AB长的最大值为2a, (长轴)；最小值为(过焦点垂直长轴的弦)

②设椭圆的两焦点分别为F₁,F₂, P为椭圆任意一点,当∠F₁PF₂最大时,

P为短轴端点;

③椭圆上的点到焦点的最短距离为a-c;椭圆上的点到焦点的最长距离为a+c

(2)双曲线

a.定义

定义1：平面内与两个定点F₁、F₂的距离的差的绝对值等于常数(小于F₁F₂)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．

定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．

b.图形和标准方程

图8－3的标准方程为：

图8－4的标准方程为：

c.几何性质

d.常用结论

①过双曲线的焦点的弦AB长的最小值为2a (A,B分别在两支上) ,最小值为(A,B在同一支上且过焦点垂直实轴的弦)

②双曲线的的渐近线方程为

③双曲线上的点到焦点的最短距离为c-a

(3).抛物线

a.定义

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

b.抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：

①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．

②p的几何意义：焦点F到准线l的距离．

焦点弦长公式：AB＝p＋x₁＋x₂

c.常用结论

①过抛物线y²=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x₁,y), ₁B(x₂,y₂)是抛物线y²=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y₁y₂=-p²

③设A, B是抛物线y²=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．

4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

　　　　 a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离

c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性

(2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）

5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。

(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。

(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

二、经典例题剖析

（根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个）

考点一　曲线（轨迹）方程的求法

常见的求轨迹方程的方法：

（1）单动点的轨迹问题——直接法（五步曲）+ 待定系数法（定义法）；

（2）双动点的轨迹问题——代入法；

（3）多动点的轨迹问题——参数法　+ 交轨法。

1. （哈九中）　设上的两点，

满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.

　　（1）求椭圆的方程；

　　（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

　　（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

 解析：本例（1）通过，，及之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。

 答案：（1）

椭圆的方程为　

　 （2）设AB的方程为

由

由已知

　　2

　（3）当A为顶点时，B必为顶点.S_△AOB=1　　

当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b

所以三角形的面积为定值.

　点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。

2. （湖北省十一校）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足① ,　②= = ③∥　　

（1）求顶点C的轨迹E的方程

（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知∥ ,  ∥且·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。

 答案：（1）设C ( x , y )， ,由①知,G为　　　　

△ABC的重心 ，　　G(,)　 由②知M是△ABC的外心，M在x轴上

 由③知M（，0），

由　得

化简整理得：（x≠0）。

 （2）F（，0 ）恰为的右焦点

　设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y = k ( x －)

由

设P(x₁ , y₁) ，Q (x₂ ,y₂ )　则x₁ + x₂ =  ,　　x₁·x₂ =　　　　

则 PQ = ·

　　　 =  ·

　　　 =  

　RN⊥PQ,把k换成得 RN = 　

　S = PQ · RN

　　  =　=)　

　　　　　　　　　　　　　　　　

≥2 ， ≥16

≤ S　< 2 ， (当 k = ±1时取等号)

又当k不存在或k = 0时S = 2

综上可得  ≤ S ≤ 2

 S_max = 2 ， S_min = 　

　点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。

考点二　圆锥曲线的几何性质

3．(2006年安徽省高考题）如图，F为双曲线C：的右焦点　P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点　已知四边形为平行四边形，　

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；

（Ⅱ）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程　

分析:　圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。

解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，　

（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，

又，由得：，解得，则，所以为所求

点评：本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。

4．（2006年湖北省高考题）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线　

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内　

分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力

解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝　

故椭圆的方程为 　

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）　

设M（x₀，y₀）　

∵M点在椭圆上，∴y₀＝（4－x₀²）　　　　　　　　 1

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得

P（4，）　

从而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，）　

∴·＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）　　　　2

将1代入2，化简得·＝（2－x₀）　

∵2－x₀>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内　

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）　设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中点Q的坐标为（，），

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

　　　　　　　　 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁　　　　　　　　　　 3

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y₂＝　　　　　　　　　　　 4

又点M在椭圆上，则，即　　　　5

于是将4、5代入3，化简后可得－＝　

从而，点B在以MN为直径的圆内　

点评：本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力

考点三　有关圆锥曲线的定义的问题

利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.

5．已知某椭圆的焦点F₁（－4,0），F₂（4,0），过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x₁,y₁）,C(x₂,y₂)满足条件｜F₂A｜，｜F₂B｜，｜F₂C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.

分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.

解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F₁B｜＋｜F₂B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故椭圆的方程为.

由点B（4，y₀）在椭圆上，得｜F₂B｜＝｜y₀＝，因为椭圆的右准线方程为，离心率.所以根据椭圆的第二定义，有

.因为｜F₂A｜，｜F₂B｜，｜F₂C｜成等差数列，＋，所以：　　x₁+x₂=8,

从而弦AC的中点的横坐标为。

点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.

考点四　直线与圆锥曲线位置关系问题

利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.

6．抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x₀,y₀)(x ₀≠0)作斜率为k₁,k₂的两条直线分别交抛物线C于A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；

（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.

解：（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．

（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．

点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③

又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．

由已知得，，则．　　⑥

设点的坐标为，由，则．

将③式和⑥式代入上式得，即．

∴线段的中点在轴上．

（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．

由③式知，代入得．

将代入⑥式得，代入得．

因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为

，．

于是，，

．

因为钝角且、、三点互不相同，故必有．

求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即

点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力.

7．（上海市宝山区）已知抛物线C：上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且MF=2NF，求直线MN的方程；

（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．

　　例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．

　 现有正确命题：过点的直线交抛物线C：于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F。

　 试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

答案：解：（1）

（2）设（t>0），则，F(1,0)。

因为M、F、N共线，则有，

所以，解得，

所以，

因而，直线MN的方程是。

（3）“逆向问题”一：

①已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。

证明：设过F的直线为y=k(x)，，，则

由得，所以， ， =，

所以直线RQ必过焦点A。

②过点的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴。

③已知抛物线C：，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。

 “逆向问题”二：已知椭圆C：的焦点为F₁(-c,0)，F₂(c,0)，过F₂的直线交椭圆C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。

 “逆向问题”三：已知双曲线C：的焦点为F₁(-c,0)，F₂(c,0)，过F₂的直线交双曲线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。

考点五　圆锥曲线在高考中的应用

（1）．圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

8．（2004年全国高考天津理科22题）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（C，0）（C＞0）的准线L与X轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若 OP·O Q = 0，求直线PQ的方程；

（3）设 A P =  AQ（＞1），过点P且平行与准线L的直线与椭圆相交于另一点M，证明　FM = - FQ 。

分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解：（1）根据已知条件“椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（C，0）（C＞0）的准线L与X轴相交于点A。” 可设椭圆的方程为 （a＞），从而有；又因可以有，联系以上这两个关于a、c的方程组并解得a=，c=2，所以椭圆的方程为，离心率e=。

（2）根据已知条件 “O P·O Q = 0” ，我们可设 P ，Q，把两个向量的数量积的形式转化为坐标表示的形式，再根据直线 PQ 经过 A（3，0），只须求出直线PQ的斜率K即可求出直线PQ的方程。而P、Q两点又在椭圆上，因此，我们容易想到通过直线y=k（x-3）与椭圆，联系方程组消去一个未知数y（或x）得，并利用一元二次方程的根与系数关系结合及不难求出k=，这里应特别注意K的值要保证＞0成立，否则无法保证直线PQ与椭圆有两个交点。

（3）要证F M =- F Q ，我们容易想到通过式中两个向量FM、FQ的坐标之间关系来谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点P且平行为准线L的直线与椭圆相交于另一点M”，求得点M坐标为。又因AP=AQ，易知FM、FQ的两个纵坐标已经满足，所以现在要考虑的问题是如何证明FM、FQ的两个横坐标应该满足，事实上，

注意到＞1，解得　　⑤

因F（2，0），M，故FM==。

　==

又FQ=，因此FM=-FQ。

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐标表示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。

把两个向量之间的关系，转化为两个向量坐标之间的关系，再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。

9. （江苏卷）已知，记点P的轨迹为E.

　 （1）求轨迹E的方程；

　 （2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点.

　　　 （i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值.

　　　 （ii）过P、Q作直线的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围.

答案：解：（1）由知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为

　 （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，

　　

　　解得k² >3

　 （i）

　　

　　，

　　故得对任意的

　　恒成立，

　　

　　∴当m =－1时，MP⊥MQ.

　　当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，

　　综上，当m =－1时，MP⊥MQ.

　 （ii）是双曲线的右准线，

　　由双曲线定义得：，

　　方法一：

　　　　　　　　　　　　  

　　，

　　注意到直线的斜率不存在时，，

　　综上，

　　方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，

　　，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则

　　

　　由

　　故：

（2）。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。

10．（2004年全国高考福建理科22题）如图，P是抛物线C：上一点，直线L过点P且与抛物线C交于另一点Q。

（Ⅰ）若直线L与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L不过原点且与X轴交于S，与Y轴交于点T，试求

分析：（1）要求线段PQ的中点M的轨迹方程，我们常把M的坐标转化为线段PQ的两个端点坐标之间的关系。而P、Q两点又是直线L与抛物线的交点，容易想到直线L的方程与抛物线C的方程相联立消去y（或x），转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另外，求过抛物线P的切线的斜率问题，我们自然会想到求出数的导数。

解：（1）事实上，这样过P的斜率为，由于直线L与过点P的切线垂直，因此直线L的斜率为（≠0），所以可设直线L的方程为，结合，消去y并化简得。

若设Q，M，因M为PQ的中点，故有

消去得M的轨迹方程为。

即M的轨迹方程为。

（2）根据式子的特点，我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式。于是可先求S、T两点的坐标，易知：

，从而有

∴=

又因

∴≥·≥2

∵、可取一切不相等的正数。

∴的取值范围是（2，）。

点评：这里的解法有别于2004年福建省高考数学评标准所给的答案。我们看到，其解法的优点在于不用添加任何辅助线的方法就可直接给出作答，这更贴近考生的学习实际。

三、方法总结与2008年高考预测

（分析2008年高考命题趋势，对命题难度，内容，热点等作总结）

（一）方法总结

1．求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.

　　2．涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.

　　3．直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.

　　4．对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.

5．与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.

（二）2008年高考预测

1．求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。

2．掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。

3．解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带。

直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有：

（1）直线方程；

（2）圆锥曲线的标准方程；

（3）圆锥曲线的几何性质；

（4）直线与圆锥曲线的位置关系；

（5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。

四、强化训练

（要求选择填空解答兼有并留有解答空间，便于用户直接应用）

（一）　 选择题

　　1．若椭圆内有一点，为右焦点，椭圆上有一点，使最小，则点是（）

（A） （B）　（C） （D）

　　2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若则的中点到抛物线准线的距离为（）

（A） 5　（B） 4　（C）　3　（D）　2　

　　3．已知椭圆，双曲线和抛物线的离心率分别为，则（）

（A） （B） （C） （D）

　 4．抛物线上的一点为且点到抛物线的焦点的距离，则点到抛物线的准线的距离是（）

（A）16　（B）12　（C）8　（D）4

　 5．直线，点，若点关于的对称点在双曲线上，则双曲线的焦点坐标是（）

（A） （B） （C） （D）

　 6．设连结双曲线与的四个顶点所成的四边形面积为，连结起四个焦点所成的四边形的面积为，则的最大值是（）

（A） （B）（C）  （D）

　　7. 设F（c,0）为椭圆的右焦点，椭圆上的点与点F的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离是的点是（　　）

A.（）　　B.（0，）　　C.（）　　D.以上都不对

8　中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(　　)

9　斜率为1的直线l与椭圆+y²=1相交于A、B两点，则AB的最大值为(　　)

A　2　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　 D　 

10　抛物线y=ax²与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x₁,x₂,直线与x轴交点的横坐标是x₃,则恒有(　　)

A　x₃=x₁+x₂B　x₁x₂=x₁x₃+x₂x₃C　x₁+x₂+x₃=0 D　x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=0

11　已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于(　　)

A　3　　　　 　　　　 　 B　　　　　　　　　　　　　　  C　　　　　　　　　　　　 D　

12　设u,v∈R，且u≤,v＞0,则(u－v)²+()²的最小值为(　)

A　4　　　　　　　　　　　　　 B　2　　　　　　　　　　　　　 　 C　8　　　　　　　　　　 D　2

1—12答案

1．【答案】A解析： 设点到右准线距离为，则。

于是，所以过点作准线的垂线，该垂线与椭圆的焦点就是，此时。

2．【答案】D解析：　分别过点向准线引垂线，其长度分别为，∵是的中点，

∴。

3．【答案】C解析： ∵椭圆，

双曲线，抛物线。

∴

4．【答案】C解析： 抛物线准线，由抛物线定义知，得，由的意义知选。

5．【答案】D解析： 解得对称点，代入双曲线方程的，

∴双曲线为。∴半焦距。

6．【答案】B解析： 设，，

∴

7．B　提示：M＝a+c，m=a－c，∴＝a，应选B.

8．C　提示　由题意，可设椭圆方程为　 =1,且a²=50+b²，即方程为=1　将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程　由x₁+x₂=1可求得b²=25,a²=75　

9．　C　提示　弦长AB=≤　答案　C

10　D　提示　解方程组,得ax²－kx－b=0,可知x₁+x₂=,x₁x₂=－,x₃=－,代入验证即可 答案　B

11　B　提示　由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2)　直线AC所在方程为x－3y+2=0,

点B到该直线的距离为d=　

∵m∈(1,4),∴当时，S_△ABC有最大值，此时m=　答案　B

12　C　提示  考虑式子的几何意义，转化为求圆x²+y²=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值　选C

（二）　 填空题

13　直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²－4y²=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________　

14　在抛物线y²=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________　

15　 A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________　

16　已知抛物线y=x²－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________　

13-16答案

13． =1　　提示　所求椭圆的焦点为F₁(－1,0),F₂(1,0),2a=PF₁+PF₂　

欲使2a最小，只需在直线l上找一点P　使PF₁+PF₂最小，利用对称性可解　

14． 8x－y－15=0　　提示　设所求直线与y²=16x相交于点A、B，且A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),代入抛物线方程得y₁²=16x₁,y₂²=16x₂,两式相减得，(y₁+y₂）(y₁－y₂)=16(x₁－x₂)　

即k_AB=8　故所求直线方程为y=8x－15　

15　　＜e＜1　　　提示　设椭圆方程为=1(a＞b＞0)，以OA为直径的圆： x²－ax+y²=0,两式联立消y得x²－ax+b²=0　即e²x²－ax+b²=0,该方程有一解x₂,一解为a,由韦达定理x₂=－a,0＜x₂＜a，即0＜－a＜a＜e＜1　

16　(－∞,－3∪1,+∞)　　　提示　设P(t,t²－1)，Q(s,s²－1)，∵BP⊥PQ，

∴=－1，即t²+(s－1)t－s+1=0，

∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)²+4(s－1)≥0　即s²+2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1　

（三）　 解答题

1. （江苏省扬州中学）点P在以为焦点的双曲线上，已知，，O为坐标原点．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于两点，且，，求双曲线E的方程；

（Ⅲ）若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：

答案：解：（I）

（II）渐近线为设

，

代入化简

（III）假设在轴上存在定点使，

设联立与的方程得

故

由

∴（3）即为，将（4）代入（1）（2）

有代入（5）得

故在轴上存在定点使。

 点评：

2. （重庆一中）已知AB是椭圆的一条弦,M(2,1)是AB的中点,以M为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N.

　(1)设双曲线离心率为,试将表示为椭圆的半长轴长的函数;

　(2)当椭圆的率心率是双曲线离心率的倒数时,求椭圆的方程;

　(3)求出椭圆长轴长的取值范围.

解析：

答案：(1)设 则相减得

　则　即故

由双曲线定义知离心率

　 (2)由上知椭圆离心率为.

故　则或

当时,椭圆方程为.

当时,椭圆方程为.而此时在椭圆外. 故舍去.

则所求椭圆方程为.

　 (3)由题设知.椭圆

得有

故

又由(2)知 即

故的范围是.

则长轴的范围是.

 点评：

3. (深圳市) 已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

解析：

答案：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，则．……①

当垂直于轴时，两点坐标分别是和，

，则，即．………②

由①，②消去，得．

或（舍去）．

当时，．

因此，椭圆的方程为．　　　　　　　

（Ⅱ）设存在满足条件的直线．

(1)当直线垂直于轴时，由（Ⅰ）的解答可知，焦点到右准线的距离为，此时不满足．

因此，当直线垂直于轴时不满足条件．　　　　　　 

（2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为．

由，

设两点的坐标分别为和，则

，．

 ．　

又设的中点为，则．

当为正三角形时，直线的斜率为．

，

．

当为正三角形时，，即＝，

解得，．　　　　　　　　　　　　　　　　

因此，满足条件的直线存在，且直线的方程为或．

 点评：

4. (东北四市长春、哈尔滨、沈阳、大连)已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中

　 （1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；

　 （2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围.

答案：解：（1）由于，

　　

解得，从而所求椭圆的方程为

　 三点共线，而点N的坐标为（－2，0）.

设直线AB的方程为，其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0.

由消去x得

，　　  即

根据条件可知　

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设，则根据韦达定理，得

又由

　　从而　

消去　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

令，则

由于

上的减函数，

从而，　　 即，

，

而

因此直线AB的斜率的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　

（2）上半椭圆的方程为

求导可得

所以两条切线的斜率分别为

 

[解法一]：切线PA的方程是

又，

从而切线PA的方程为　

同理可得切线PB的方程为　

由 　可解得点P的坐标

再由　

∴　

又由（1）知 ，

∴

因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是[1，]

[解法二]：设点P的从标为，则可得切线PA的方程是

而点在此切线上，所以有

即　　 

所以有 ，　①

同理可得　　②

根据①和②可知直线AB的方程为，

而直线AB过定点N（－2，0）

∴

直线AB的方程为

∴　

又由（1）知 ，所以有

因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是 。

5. （四川省成都市08届高中毕业班摸底测试）设双曲线C：的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。

　 （Ⅰ）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；

　 （Ⅱ）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；

　 （Ⅲ）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。

答案：解：（Ⅰ）由题，得，设

则

由　…………①

又在双曲线上，则　 …………②

联立①、②，解得　　

由题意，

∴点T的坐标为（2，0）　 …………3分

（Ⅱ）设直线A₁P与直线A₂Q的交点M的坐标为（x，y）

由A₁、P、M三点共线，得

　 …………③　…………1分

由A₂、Q、M三点共线，得

　 …………④　…………1分

联立③、④，解得 　 …………1分

∵在双曲线上，

∴

∴轨迹E的方程为　…………1分

（Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0。

故可设直线l的方程为　中，得

　

设

则由根与系数的关系，得　……⑤

　……⑥　 …………2分

∵ ∴有

将⑤式平方除以⑥式，得

　 …………1分

由

　…………1分

∵

又

故

令　　∴，即

∴

而 ，　∴

∴　

6．在平面直角坐标系内有两个定点F₁、F₂和动点P，F₁、F₂的坐标分别为F₁（－1，0），F₂（1，0），动点P满足动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线y=x的对称曲线为曲线C′，直线与曲线C′交于A、B两点，O是C′的对称中心，△ABO的面积为。

 （Ⅰ）求曲线C的方程；

 （Ⅱ）求m的值。

解：（1）设P点坐标为（x,y）则

所以曲线C的方程为

　 （2）曲线C是以（－3，0）为圆心，为半径的圆，曲线C′也应该是一个半径为 的圆，点（－3，0）关于直线y=x的对称点的坐标为（0，－3），所以曲线C′的方程为

又O是C′对称中心，则O（0，－3）到直线的距离d为

所以，。

（四）　 创新试题

1. 如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点．

（Ⅰ）若，求点的轨迹方程；

（Ⅱ）求的取值范围．

解：（Ⅰ）①若直线∥轴，则点为； ②设直线，并设点的坐标分别是

，由消去，得 ， ①

由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以．

由及方程①，得，

，

即由于（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，，

代入到方程，得，整理，得（．

综上所述，点的轨迹方程为（．

（Ⅱ）①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，，所以，； ②由方程①，得

所以，，

，

所以． 因为，所以，所以，

所以．综上所述，．

2. 已知椭圆的焦点是，和，，离心率为．

　　（1）求椭圆上的点到直线距离的最大值；

　　（2）若P在椭圆上，，求△的面积．

解：设椭圆，半焦距为c，则椭圆方程为．设椭圆上的点为，．P到直线的距离，当且仅当时取“＝”（其中），椭圆上的点到直线的最大值为．

　　（2），，又

，，，即

，，，，

五、复习建议

1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。

2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。

3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。