【参数方程和普通方程的互化】
例1 求曲线
（
为参数）与曲线
（
为参数）的交点．
解：把代入
得：
两式平方相加可得
∴ 
（
舍去）
于是
即所求二曲线的交点是（
，－）．
说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解．
例2化直线的普通方程
为参数方程（其中倾斜角
满足
且
）
解法一：因，，故
∴ 
设
。取为参数，则得所求参数方程
解法二：如图，
（
）为直线上的定点，
为直线上的动点．因动点M与
的数量
一一对应（当M在的向上方向或正右方时，
；当M在的下方或正左方时，
；当M与重合时，
），故取为参数．
过点M作y轴的平行线，过点作
轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有
∴ 
即为所求的参数方程。
说明：①在解法二中，不必限定
，
，即不必限定，．由此可知，无论
中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”．
②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便．
③如果取
为参数，则得直线参数方程
一般地，直线的参数方程的一般形式是
（
，为参数）
但只有当且仅当
，且
时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义．
例3 求椭圆
的参数方程．
分析一：把
与
对比，不难发现，可设
，也可设
解法一：设
（为参数），则
∴ 
故
因此，所得参数方程是
（Ⅰ）
或 （Ⅱ）
由于曲线（Ⅱ）上的点（
，
），就是曲线（Ⅰ）上的点（
，
），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点．
显然．椭圆的参数方程是
分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义．
解法二：以原点O为圆心，
为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径OA为终边的变角为，过点A作
轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（
）的横坐标
（以下同解法一）．
由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆的离角．（如果以O为圆心，
为半径作圆，过M作
，交圆于B，由
可知也是半径OB的转角）．
例4 用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆
化为参数方程。
分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。
解：如图所示，圆方程化为
，设圆与x轴正半轴交于A，
为圆上任一点，过P作
轴于B，OP与x轴正半轴所成角为，
，则：
又
中
，
∴
∴此圆的参数方程为
例5 设
（为参数）把普通方程
化为以为参数的参数方程。
解：把代入原方程，得
，
解得 
∴参数方程为
（为参数）
∵
与
表示的是同一曲线，所以它们是等价的，可以省略一个。
∴所求参数方程
例6 化双曲线
为参数方程。
解：设
，代入为，得
∴的参数方程为
（为参数，
）
这是同学中较为常见的解法，这种解法是错误的，那么错在哪里呢？请你找出来。
错误在于，双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数，错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅
，故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分，不符合普通方程与参数方程的等价性要求，普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数，注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。
下面给出正确解法：设
，代入得
。
∴的参数方程为：
（为参数，
）
例7 化参数方程
（为参数）为普通方程。
分析一：用代入消元法，从已知方程中解出参数，代入后消去参数。
解法一：∵
∴
即
将它代入（1），并化简得
（
）
分析二：用整体消参法。注意表达式的分母相同，而分子的平方和恰为原来相同的分母。
解法二：
得
又∵
∴
于是得所求普通方程为
即
分析三：因为
，所以
。从
表达式可联想万能公式。于是可用三角变换，然后利用三角公式再消参。
解法三：∵，
∴ 可令
（
，
）
又∵
于是得
得 
即
∵，（）
∴
（）
即
，∴
∴普通方程是（）
说明：解法一是用代入法消参，解法二是整体消参法，解法三是运用万能公式，三角变换消参，三种解法中都应注意的限制条件，使参数方程化为普通方程时保持等价性。
例8将下列参数方程（其中，为参数）化为普通方程。
（1）
（2）
（3）
解：（1）∵
∴ 
（
）为所求。
（2）由
，得
（
）
将它代入
，并化简得
（）
另解：∵
并整理得
（
）
（3）∵
且
∴所求普通方程为
说明：（1）小题是用三角公式变形后用代入法消参，（2）是用代入（消元）法消参变形后整体消参，（3）小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。
例9 对于方程
（a，b为常数）
（1）当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线；
（2）当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线
解：（1）当t为常数，原方程可变形为
两式平方相加得
即
这是以（a，b）为圆心，
为半径的圆。
（2）当为常数时，
由第一式得
代入第二式得
即
这是过点（a，b），斜率为
的一条直线
小结：同一参数方程，由于参数不同，所表示的曲线也不同，消去参数化为普通方程后，曲线的类型也就显现出来。
例10 已知直线
过点P（2，0），斜率为
。直线和抛物线
相交于A、B两点，线段AB的中点为M。求：
（1）线段PM的长
；
（2）M点的坐标；
（3）线段AB的长
解：如图。
（1）由直线过点P（2，0），斜率为。设其倾斜角为，则有
可得直线的标准参数方程为：
（其中为参数）
设直线上两点A、B分别对应参数
、
，
由方程组：
消去可得：
有 
，
由M为AB的中点，
∴ 
（2）设M点对应参数为
，则有
∴ M点坐标为：
∴M点坐标为（
，
）
（3）由
分别代入，
可得 
点拨：利用直线的标准参数方程中参数的几何含义，在解决诸如直线上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时，显得很方便和简捷。
例11 已知椭圆
上的一个点P（），求
的最值。
解：设椭圆
的参数方程为：
（为参数，
）
∴
，（其中
）
∵ 
∴ 
即的最大值是
，最小值是－。
点拨：这个题虽然很简单，但它说明了一个道理：曲线的参数方程不仅表示了曲线，同时也表示了曲线上的点的坐标．当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时，实际上起到了消元的作用，即用一个参数表示了 、
，因此，在求某些几何量的最值时，参数方程可以起到一元化即消元的作用．
例12 过点M（2，1）作曲线
（为参数）的弦AB，若M为AB的三等分点，求AB直线方程。
解：设AB的方程为
（t为参数），将x，y代入曲线（为参数）即
，
整理、化简得
，
①
②
∵点M在AB的内部 ∴
∴
。
将①、②代入上式有
。
解得
，
则AB的方程为
小结：本题是首先设出过定点的参数方程，然后和椭圆方程联立，再利用韦达定理及直线参数方程中t的意义，求得斜率，用点斜式写出直线方程。
例13 圆O内一定点A，过A任作两互相垂直的弦，求证这两弦长的平方和为定值。
证明：以圆心O为原点，OA所在的直线为x轴建立直角坐标系，
设圆的方程
，过定点
互相垂直的两弦PQ、RS的方程分别为
即
分别代入圆方程，得
，其二根为
、，
，其二根为
、
，故有
∴两弦平方和为定值
小结：涉及圆的弦长问题，可利用直线参数方程来解。
例14 已知
是抛物线
的一动弦，O为原点。当
恒为直角时，如图求弦的中点P的轨迹方程。
分析 点P是的中点，点P的坐标与
，
的坐标
，
，
、
相关，如果选取，，、作为参数，则要列出，，，、有关的五个方程，最后消去参数，，、就可以得到P点的轨迹方程。
解 设P（），（，），（，）
∵P是的中点
∴
①
②
∵，在抛物
上
∴
③
④
又∵恒为直角，即
∴
⑤
由③×④：
∴
由③＋④：
∴
把①、②式代入得：
∴ P点的轨迹方程是
说明 此题的解法是利用参数求点的轨迹方程，参数的个数可以是一个，也可以是几个，所列出的参数与点的坐标之间的方程的个数要比参数个数多一个，最后消去参数，得出轨迹方程．解决这类问题的关键是如何选取参数．此题还有一种选取参数的方法．
设直线
的斜率为
，根据
则的方程是
，
的方程是
。
由
解得
由
解得
设
，根据P是的中点
∴
（1）
（2）
由
把（1）代入：
∴P点的轨迹方程是：