高考数学试题精选（一）
卞志业 2008-1-17
1.（0712广东深圳）设
是方程
的解，则属于区间
（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D.（3，4）
2. （0712广东深圳）过原点与曲线
相切的直线方程是
A.
B. 
C. 或
D. 或
3（理）. （0712广东深圳）4张软盘与5张光盘的价格之和不小于20元，而6张软盘与3张光盘的价格之和不大于24元，则买3张软盘与9张光盘至少需要 （ ）
A.15元 B.22元 C.36元 D.72元
3．（0712山东青岛）右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影、部分的面积约
（ ）
A． 
B．
C．
D．
4（理）．（0712广东深圳）若
的展开式中的第五项等于
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
4. （0712广东深圳）下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量a的性质a2=a2类比得到复数z的性质z2=z2；
③方程
有两个不同实数根的条件是
可以类比得到：方程
有两个不同复数根的条件是；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比错误的是 （ ）
A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
5．（0712广东深圳）已知
，
，曲线
上一点P到F（3，0）的距离为6，Q为PF的中点，O为坐标原点，则OQ= （ ）
A．1 B．5 C．1或5 D． 4
6．（0712广东深圳）抛物线
的准线与
轴交于点
，直线
经过点，且与抛物线有公共点，
则直线的倾斜角的取值范围是
（ ） A．
B．
C．
D．
7. （0712广东深圳）定义
的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A.
B.
C.
D.
8．（0712广东深圳）正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成角为
，过底面一边作一截面使其与底面成
的二面角，则此截面的面积为（ ）
A．
B．
C ．
D．
9．（0712广东深圳）对于
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（0712山东潍坊）一化工厂明年一月起，若不改善生产环境按现状生产，每月收入72万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元. 如果明年一月投资600万元增加废物回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本，据测算设备投产后每月收入为150万元，同时该厂不仅不受处罚而且能得到环保部门一次性100万元的奖励，则投资后（从一月算起）第（ ）个月开始见效（即投资改造后的纯收入大于不改造时的纯收入）？ （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．（0801福建福州）设
的平均数，m是
的平均数，n是
的平均数，则下列各式正确的是 （ ）
A． 
B．
C．
D．
12．（0712甘肃张掖）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文
对应密文
,例如,明文
对应密文
.当接收方收到密文
时,则解密得到的明文为 （ ）
A．
B．
C．
D．
13(理). （0712广东深圳）函数
的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于 .
13. （0712广东深圳）一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果为
，则判断框中应填入的条件是
.
14（理）. （0712广东深圳）若
，则
.
14．（0712甘肃张掖）函数
是定义在R上的奇函数，给出下列命题：①
=0， ②若在
上有最小值为－1，则在
上有最大值1；③若在
上为增函数，则在
上为减函数；④若x>0，=x2－2x；则x<0时，=－x2－2x.
其中所有正确的命题序号是______________ .
15（理）．（0712广东深圳）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是 ．（用数字作答）
15．（0712安徽蚌埠）一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是_______。
16.（0712山东实验）在数列中，已知
，这个数列的通项公式是
=
。
17. （0712甘肃张掖）
设函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，的对边，
求b，c的长．
18. （0712广东深圳）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视
图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为
6的正方体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1
的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成锐二面
角的余弦值.
19.（理科）（0712广东深圳）高校招生是根据考生所填报的志愿，从考试成绩所达到的最高第一志愿开始，按顺序分批录取，若前一志愿不能录取，则依次给下一个志愿（同批或下一批）录取.某考生填报了三批共6个不同志愿（每批2个），并对各志愿的单独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测，结果如“表一”所示（表中的数据为相应的概率，a、b分别为第一、第二志愿）.
（Ⅰ）求该考生能被第2批b志愿录取的概率；
| 批次 | 高考上线 | a | b |
| 第1批 | 0.6 | 0.8 | 0.4 |
| 第2批 | 0.8 | 0.9 | 0.5 |
| 第3批 | 0.9 | 0.95 | 0.8 |
（Ⅱ）求该考生能被录取的概率；
（Ⅲ）如果已知该考生高考成绩已达到第2批分数线却未能达到第1批分数线，请计算其最有可能在哪个志愿被录取？
（以上结果均保留二个有效数字）
19.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件
：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率
．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率
；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件
：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率
．
20. （0712广东深圳）定义在D上的函数
，如果满足：
，
常数
，都有
≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（Ⅰ）试判断函数
在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；
（Ⅱ）若已知质点的运动方程为
，要使在
上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
21. （0712广东深圳）双曲线M的中心在原点，并以椭圆
的焦点为焦点，以抛物线
的准线为右准线.
（Ⅰ）求双曲线M的方程；
（Ⅱ）设直线：
与双曲线M相交于A、B两点，O是原点.
① 当
为何值时，使得
?
② 是否存在这样的实数,使A、B两点关于直线
对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22．（0712广东深圳）已知数列
满足
，
（1）设
，求证数列
是等差数列，并写出其通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列，
满足
，且对于任意正整数
，不等式 
恒成立，求正数的取值范围.
高考数学试题精选（一）答案
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算 共12小题，每小题5分，满分60分．
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答 案 | C | C | B A | C D | C | B | B | D | C | C | C | C |
二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共4小题，每小题4分，满分16分。
13. 5/6 （无） 14. 0 ①②④ _
15. 1800
1/2
16.
三、解答题: 本大题共6小题，其中17~21题每题12分，22题14分，满分74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
17.解（Ⅰ）
……………………(3分）
∴
…………………（5分）
（Ⅱ）f
(A) =
2 即
…………………（7分）
∴b2 + c2－bc = 3 ①
又b2 + c2 + 2bc = 9 ②
②－① bc = 2 ③
b + c = 3 ④
b > c ⑤
由③，④解出
……………………（10分）
18.
解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条
侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的
正方形，高为CC1=6，故所求体积是
------------------------4分
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示. ------------------------6分
证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的
正方形，于是
故所拼图形成立.---8分
（Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，
连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，
连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与
平面ABC所成二面角或其补角的平面角. --------10分
在Rt△ABG中，
，则
，
，
，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为
.---14分
方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.
设向量n=（x，y，z），满足n⊥
，n⊥
，
于是
，解得
.
--------------------12分
取z=2，得n=（2，-1，2）. 又
（0，0，6），
故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.
----------------14分
19. 解：分别记该考生考上第1、2、3批分数线为事件A、B、C，被相应志愿录取为事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 则以上各事件相互独立. -------------------------------------2分
（Ⅰ）“该考生被第2批b志愿录取”包括上第1批分数线和仅上第2批分数线两种情况，故所求概率为
. -----------------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）设该考生所报志愿均未录取的概率为
，则
.
∴该考生能被录取的概率为
. ------------10分
|
| 批次 | a | b |
| 第2批 | 0.9 | 0.05 |
| 第3批 | 0.048 | 0.0020 |
从表中可以看出，该考生被第2批a志愿录取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被录取. ------14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵
，当
时，
.
∴在[1，3]上是增函数.---------------------------------3分
∴当时，
≤≤
，即 -2≤≤26.
∴存在常数M=26，使得
，都有≤M成立.
故函数是[1，3]上的有界函数.---------------------------6分
（Ⅱ）∵
. 由
≤1，得
≤1
∴
令
，则
.
当时，有
，
∴在[0，+∞
上单调递减.
-------------------------------10分
故当t=0 时，有
；
又
，当t→+∞时，→0，
∴ 
，从而有
≤0，且
. ∴0≤a≤1；
故所求a的取值范围为0≤a≤1.---------------------------------------------14分
21.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：
，
又抛物线的准线为：
.
设双曲线M的方程为
，依题意有
，
故
，又
.
∴双曲线M的方程为
. ------------------------4分
（Ⅱ）设直线与双曲线M的交点为
、
两点
联立方程组
消去y得
，
∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根，
∴
∴
，从而有
，
.
又
，
∴
.
① 若，则有 
，即
.
∴当
时，使得. -----------------------------8分
② 若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有 
，
因此，当m=0时，不存在满足条件的k；------------------------------------10分
当
时，由
得 
∵A、B中点
在直线上，
∴
代入上式得
；又
， ∴
将代入并注意到
，得 
.
∴当时，存在实数
，使A、B两点关于直线对称.
22．解：（1）证明：由
得
，
因，所以
又
，
是以1为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为
（2）由题意，即
对任意正整数恒成立，记 
，
则
，
所以
，即
单调递增，故
所以