08高考数学参数复习1

 例1：已知直线过点P（2，0），斜率为，直线

　　　和抛物线相交于A、B两点，

　　　设线段AB的中点为M,求：

　　　　　  　(1)P、M两点间的距离PM；　　　　　　　　

　 (2)M点的坐标；　　　　　　　　　　　　　 

　 (3)线段AB的长AB

解：(1)∵直线过点P（2，0），斜率为,设直线的倾斜角为，tg=

　　 cos =, sin=∴直线的标准参数方程为（t为参数）*

　　　∵直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中，

　　 整理得　 8t²－15t－50＝0　 Δ=15²+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t₁、t₂,由韦达定理得　t₁＋t₂＝,　t₁t₂＝ ，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 PM＝ ＝

　　∵中点M所对应的参数为t _M=,将此值代入直线的标准参数方程*，

M点的坐标为　　 即　 M（，）

(1)　　　  AB＝∣t ₂－t ₁∣＝ ＝

点拨：利用直线的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线上两点间的距离、直线上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.

例2：已知直线经过点P（1,－3）,倾斜角为，

　 (1)求直线与直线：的交点Q与P点的距离 PQ；

　 (2)求直线和圆＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.

　 解：(1)∵直线经过点P（1,－3）,倾斜角为,∴直线的标准参数方

　　　 程为，即（t为参数）代入直线：

　　  得　整理，解得t=4+2

　　 t=4+2即为直线与直线的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几

　　何意义可知：t= PQ,∴ PQ=4+2.

(2) 把直线的标准参数方程为（t为参数）代入圆的方程

＝16，得,整理得：t²－8t+12=0，

　 Δ=8²-4×12>0,设此二次方程的两个根为t₁、t₂则t₁t₂=12

 根据参数t的几何意义，t₁、t₂ 分别为直线和圆＝16的两个交点

A, B所对应的参数值，则t₁= PA,t₂= PB,

所以 PA· PB=t₁ t₂=12

点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.

例3：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与轴平行，开口向右，

　　 直线y=2+7被抛物线截得的线段长是4，求抛物线方程.

　 解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（，2）

　　　　方程为(y―2)²=2P(x－)　(P>0)　　①

　　 ∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)²=2P(－1－)

　　　　P=－8－P　代入① 得(y―2)²=2P＋2P+16　 ②

　　　　将直线方程y=2+7化为标准的参数方程tg=2, 为锐角，

　　 cos =, sin=　 得（t为参数）　 ③

　　 ∵直线与抛物线相交于A，B, ∴将③代入②并化简得：

　 ＝0 ，由Δ=>0,可设方程的两根为t₁、t₂，

　　 又∵AB=∣t ₂－t ₁∣＝ ＝4

　　 　=(4)²　 化简，得(6－P)²=100

∴ P=16 或P=-4(舍去)　所求的抛物线方程为(y―2)²=32＋48

点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P一个未知量，由弦长AB的值求得P）.

　　　(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.

例4：已知椭圆，AB是通过左焦点F₁的弦，F₂为右焦点，

　　 求 F₂A· F₂B的最大值.

解：由椭圆方程知＝2，b=,c=1, F₁(0,0),F₂(2,0),设过的弦所在直线的

参数方程为（t为参数）　代入椭圆方程整理得

（3＋sin²）t²－6 t cos－9=0　，Δ=36cos²＋36（3＋sin²）>0

此方程的解为t₁、t₂，分别为A、B两点

对应的参数，由韦达定理t₁＋t₂=　　 t₁ t₂＝

 根据参数t的几何意义，t₁、t₂ 分别为过点F₁的直线和椭圆的两个交点

　　 A, B所对应的参数值， F₁A＝t₁　 F₁B＝t₂

　　　AB=∣t ₂－t ₁∣＝ ＝

　　　 F₁A·F₁B＝t₁·t₂=t₁t₂

　　　由椭圆的第一定义 F₁A＋ F₂A＝2＝4， F₁B+ F₂B=2＝4

　　 F₂A· F₂B=(4- F₁A)(4- F₁B)=16-4AB+ F₁A·F₁B

　　 =16-4∣t ₂－t ₁∣+t₁t₂=16-4+=16-

　　　　当sin²＝1时， F₂A· F₂B有最大值

点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解

　　　题，此题中两定点F₁(0,0),F₂(2,0),显然F₁坐标简单，因此选择过F₁

 的直线的参数方程，利用椭圆的定义将 F₂A· F₂B 转化为 F₁A·F₁B.

方法总结：利用直线的参数方程　（t为参数），给研究直线与圆锥曲线C：F()=0的位置关系提供了简便的方法.

　　 一般地，把的参数方程代入圆锥曲线C：F()=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，=0,

1、(1)当Δ<0时，与C相离；(2) 当Δ＝0时，与C相切；(3) 当Δ>0时，

　　 与C相交有两个交点；

2、当Δ>0时，方程=0的两个根分别记为t₁、t₂，把t₁、t₂分别代入的参数方程即可求的与C的两个交点A和B的坐标.

3、定点M₀()是弦AB中点 t₁+t₂=0

4、被C截得的弦AB的长AB＝t₁－t₂；M₀A·M₀B= t₁·t₂；弦AB中点M点对应的参数为； M₀M =