高考理科数学模拟示范卷(一)
数学(理科,江西专用)
江西金太阳教育研究所数学研究室 编
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1.数列
是首项为
,公差为
的等差数列,数列
是首项为
,公差为
的等差数列.若
,则
的值为( ).
A.
B.
C.
D.
2.函数
的最小正周期为( ).
A.
B.
C.
D.
3.已知
,则
( ).
A.
B.
C.
D.
4.两个集合
与
之差记为“
”,定义为
.如果集合
,集合
,那么
( ).
A.
B.
C.
D.
5.设
,
,则
等于( ).
A.
B.
C. 或
D.不存在
6.已知球面上的四点
、、、
,
、
、
的长分别为、、,且这三条线段两两 垂直,则这个球面的表面积为( ).
A.
B.
C.
D.
7.正方体
中,若
为棱
的中点,则直线
与平面
所成角的正切值为( ).
A.
B.
C.
D.
8.已知椭圆
的两焦点分别为
、
,点
满足
,则
( ).
A.
B.
C.
D.
9.直线
与圆
交于
、
两点,若满足
,则
(
为坐标原点)等于( ).
A.
B.
C.
D.
10.已知方程
的两根为
,且
,则
的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
11.五个人站在图中、、、
、五个位置上互相传球,规定每次
只能传给相邻的人,如不能直接传给等.若开始时球在手中,则经
过四次传球后,球又回到手中的传法种数是( ).
A.
B.
C.
D.
12.设
为整数(十进制)的各位数上的数字的平方之和,比如
,
记
,
,则
等于( ).
A.
B.
C.
D.
第(Ⅱ)卷 (非选择题 共90分)
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.已知
,
,且
,则实数
.
14.已知
,且
,那么二项式
的展开式中常数项为.
15.过双曲线：
的左顶点作斜率为的直线
,若与双曲线的两条渐近线分别交于点、,且
,则双曲线的离心率.
16.在
这
个连号中抽奖,若抽出的号码中,出现仅出现两个偶数数字则中奖,那么抽取一个号码能中奖的概率是
.
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在
中,角、、的对边分别为
、
、
,已知
,且、 、成等比数列.
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若
,求
的值.
18.(本小题满分12分)四个纪念币、、、,投掷时正面向上的概率如下表所示
.
| 纪念币 |
|
|
|
|
| 概率 |
|
|
|
|
这四个纪念币同时投掷一次,设
表示出现正面向上的个数.
(Ⅰ)求的分布列及数学期望；
(Ⅱ)在概率
中,若
的值最大,求的取值范围；
19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱
中,侧面
底面
,侧棱
与底面成
的角,
.底面是边长为的正三角形,
其重心为
点.是线段
上的一点,且
.
(Ⅰ)求证：
侧面
；
(Ⅱ)求平面
与底面所成的锐二面角的大小.
20.(本小题满分12分)设
,
.
(Ⅰ)当
时,求函数
的单调区间；
(Ⅱ)求证：当
时,
对任意正实数
成立.
21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列由
,
确定.
(Ⅰ)对于一切的
,证明：
；
(Ⅱ)若是满足
的正实数,且
,证明：
.
22.(本小题满分14分)已知常数列
,点
是直角的直角顶点,顶点在定直线：
上移动,斜边
所在直线恒过定点
.
(Ⅰ)求顶点的轨迹
的方程；
(Ⅱ)设是轨迹上的任一点,是过点法线(即与过点的切线垂直的直线),且
,
,证明：直线
、
与直线的夹角相等.
高考理科数学模拟示范卷(一)
数学(理科,江西专用) 参考答案
江西金太阳教育研究所数学研究室 编
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | C | C | D | B | C | C | D | A | D | B | B |
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,)
13.0 14. 
15.
16.
.
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在中,角、、的对边分别为、、,已知,且、 、成等比数列.
(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若,求的值.
解：(Ⅰ)依题意,
,由正弦定理及,得
.
.
(Ⅱ)由,得
,即
.由,得
(舍负)
∴
,由余弦定理,得
,∴
,故
.
18.(本小题满分12分)四个纪念币、、、,投掷时正面向上的概率如下表所示.
| 纪念币 |
|
|
|
|
| 概率 |
|
|
|
|
这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数.
(Ⅰ)求的分布列及数学期望；
(Ⅱ)在概率中,若的值最大,求的取值范围；
解：(Ⅰ)
是个正面向上,
个背面向上的概率.其中的可能取值为
.
∴
,
,
,
,
.
∴的分布列为
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
的数学期望为
.
(Ⅱ)∵
,∴
,
.则
,
,
由
,得
,即的取值范围是
.
19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,侧面底面,侧棱与底面
成的角,.底面是边长为的正三角形,
其重心为点.是线段上的一点,且.
(Ⅰ)求证：侧面；
(Ⅱ)求平面与底面所成的锐二面角的大小.
解：(Ⅰ)延长
交于点
,则
,即为的中点.∵为的重心,
∴、、三点共线,且
,∴
,故侧面.
(Ⅱ)作
于
,∴
面.∵侧棱与底面成的角,.
∴
,
,
.作
于,连
,则
,∴
为
所求二面角的平面角.又
,
,∴
,在
中,
,故所求锐二面角的大小为
.
20.(本小题满分12分)设,.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；
(Ⅱ)求证：当时,对任意正实数成立.
(Ⅰ)解：当时,
,由
,得
.∵当
时,
；当
时,
,∴
的单调增区间是
,
；单调增区间是
.
(Ⅱ)证明：令
,则
.当
时,由
,
；当
时,
；当
时,
,∴
在
上的最小值
是
,故当时,对任意正实数成立.
21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列由,确定.
(Ⅰ)对于一切的,证明：；
(Ⅱ)若是满足的正实数,且,证明：.
解：(Ⅰ)用数学归纳法证明：当
时,,
,
成立.
假设
时结论成立,即
,则
,即
.
∴
,∴
时结论也成立,综上,对一切的,成立.
(Ⅱ)
,
∴
.当
时,
,与矛盾,故.
∴
.
22.(本小题满分14分)已知常数列,点是直角的直角顶点,顶点在定直线
：上移动,斜边所在直线恒过定点.
(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设是轨迹上的任一点,是过点法线(即与过点的切线垂直的直线),且,
,证明：直线、与直线的夹角相等.
解：(Ⅰ)设
,
,依题意
,∴
,即
①.
又
与
共线,∴
②. 由①②消去,得
.
(Ⅱ)由双曲线的对称性,不妨设
是双曲线上位于
轴上方的点,由
,
得
,∴
.故过点的切线的斜率
,而
,
∴
,∴
,
.设
是与直线的夹角,则
. 设
是与直线的夹角, 
,则
.
∴
,又
,∴
,故直线、与直线的夹角相等.