高考数学三角函数公式测试

专题考案(3)三角板块 第1课 三角函数公式

(时间：90分钟　满分：100分)

题型示例

若A-B=,tanA-tanB=,则cosA·cosB=　　　　  .

解　tan(A-B)=(1+tanA·tanB)·1+

cosA·cosB+sinA·sinB=2cosA·cosBcosA·cosB=cos(A-B)= .

答案　

点评　“化切为弦”是三角变换的常用方法.若把1+=2化为=1cosA·cosB=sinA·sinB,解题便陷入困境，不易求解.

一、选择题 (9×3′＝27′)

1．tan 15°+cot 15°等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　)

A.2　　　 B.2+　　　 C.4　　　　D.

2．当x≠(k∈Z)时，的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　)

A.恒正　　　 B.恒负　　　 C.非负　　　 D.无法确定

3．若cotα=2,则sin²α+sin²α的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　)

A.1　　　　 B.-1　　　　 C.2　　　　 D.以上都不对

4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是　　　　　　　　　 (　　)

A.　　　log_cosC>0　　　　B.log_cosC>0

C.log_sinC>0　　　　  D.log_sinC>0

5．设tanα=,tanβ=,α、β均为锐角，则α+2β的值是　　　　　　　　　  (　　)

A.　　　　B. π　　　　C.π　　　　D. π

6．如果角θ满足条件,则θ是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　)

A.第二象限角　　　　　 B.第二或第四象限角

C.第四象限角　　　　　 D.第一或第三角限角

7．若cotθ=3,则cos²θ-sin²θ的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　)

A.-　　　　 B.- 　　　　C.　　　　 D.

8．若α∈［0,2π］,且则α的取值范围是　　 (　　)

A.［0，2π］　　 B.［,π］　　 C.［0,π］　　 D.［π,2π］

9．在△ABC中，若sin(+A)cos(A+C-π)=1,则△ABC为　　　　　　　　　　 (　　)

A.等腰三角形　　　　　  B.直角三角形

C.等腰直角三角形　　　　D.等边三角形

二、填空题 (5×3′＝15′)

10．化简= 　　　　 .

11．tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值是　　　　  .

12．若sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,则sin(α+)的值为　　　　　 .

13．已知α=,的值为　　　　　　 .

14．若a≠0，且sinx+siny=a，cosx+cosy=a,则sinx+cosx=　　　　　 .

三、解答题(2×10′＋6′＋10′＝36′)

15．已知tanα、cotα是关于x的方程x²-kx+k²-3=0的两实根，且3π<α<π，

求cos(3π+α)+sin(π+α)的值.

16．已知tan.

(1)求tanα的值;

(2)求的值.

17．已知sinα+cosβ=,求cosα+sinβ的取值范围.

18．已知6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0,α∈,π）,求sin(2α+)的值.

四、思考与讨论(12′＋10′＝22′)

19．已知关于x的方程2x²-(+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：

(1) 的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

20．设α、β、γ是锐角,且tan,tanβ=tanγ,求证：α、β、γ成等差数列.

参考答案

1．C　tan 15°+cot 15°=tan 15°+

 

2． A　x≠,k∈Z, .

3．A　cotα=2sinα=

又由cotα=2>0知　sinα、cosα同号.

∴sin2α+sin²α=2×=1.

 4．A　∵A+B>,∴A>-B,cosA<cos(-B)=sinB，∴0<<1,又0<cosC<1,

∴log_cosC>0.

5．A　tanβ=tan²β=

又<1,  <1,则0<α<,0<β<,∴0<α+2β<π,

又tan(α+2β)=+ =1,∴α+2β=.

6．B　∵sin²θ+cos²θ=1,∴k=0或8．k=0时，sinθ=-，cosθ=，θ在第四象限；k=8时，sinθ=，cosθ=,θ在第二象限．

7． C　cotθ=3,则tanθ=,∴sin²θ=,cos²θ=

cos²θ-

8．D　α∈［0,2π］,则∈［0,π］.

由已知得　sin≥0,cos≤0,∴∈［,π］,∴α∈［π,2π］.

9．C　sin（+A）cos (A+C-π)=1sin(+A)=1,cos (A+C-π)=1A=,A+C=π.

10．

 

11．　=tan60°=tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.

12．　由已知sinβ=-sinα,cosβ=-cosα,两式平方相加得1=2-sinα-cosα=2-2sin(α+)，∴sin(α+)=.

13．　

　　

14．a　∵sin²y+cos²y=1,∴(a-sinx)²+(a-cosx)²=1,得2a²-2a(sinx+cosx)+1=1,∴sinx+cosx=a．

15．解得k=±2,tanα=±1,又3π<α<π,∴tanα=1,α=π.

cos(3π+α)+sin(π+α)=-cosα-sinα=.

16．分析　（1）将已知用两角和的正切公式展开即可.

(2)将所求式子化简成只含tanα的形式，再代入数便可求解.

解　 (1)tan

由tan

(2)方法1

方法2　由(1),tanα=-,得sinα=-cosα.

∴sin²α=cos²α,1-cos²α=cos²α.

∴cos²α=,于是cos²α=2cos²α-1=,sin²α=2sinαcosα=-cos²α=-.

代入得

点评  本题考查了两角和的正切公式，倍角的正余弦公式等一些基本三角公式，进而考查了学生灵活运用公式的能力及运算能力.

① ②

17．解　设cosα+sinβ=t,则

①²+②²,得:2+2sin(α+β)=+t²,∴sin(α+β)=

由sin(α+β)∈［-1,1］得-1≤≤1

即,从而cosα+sinβ的取值范围是.

点评　如果已知sinα+cosβ=m,cosα+sinβ=n,则两边平方出现sin²α+cos²α=1,sin²β+cos²β=1,可以求出sin(α+β)的值，同样已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=n平方可求出cos(α-β)的值.

18．解　方法1　由已知得(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=03sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0.由已知条件可知cosα≠0，所以α≠,即α∈ (,π).

于是tanα<0,∴tanα=-.

sin(2α+)=sin2αcos+cos2αsin=sinαcosα+ (cos²α-sin²α)

=

将tanα=-代入上式得

方法2　由已知条件可知cosα≠0,则α≠,所以原式可化为6tan²α+tanα-2=0.

即(3tanα+2)(2tan-1)=0.

又∵α∈,∴tanα<0.∴tanα=-.

下同方法1.

① ②

19．解　(1)由根与系数的关系，知

原式=

(2)由①式平方，得(sinθ+cosθ)²=，即1+2sinθcosθ=．

∴sinθcosθ=.由②，得=,∴m=.

(3)当m=时，原方程为2x²-(+1)x+=0,解得x₁=,x₂=.

∴又x∈(0，2π)，∴θ=

20．解　tanβ=

再分析范围得β=，故α、β、γ成等差数列.