2004年全国各地高考数学试题20套

2004年高考试题湖南卷数学(理)试题

一.选择题

(1)复数的值是

(A) 4　　 (B) –4　　  (C)4　　　  (D)—4

(2)如果双曲线=1上一点P到右焦点的距离等于,那么点P到右准线的距离是

　 (A)　　　　　 (B) 13　　　　  (C)5　　　　　 (D)

  (3)设是函数的反函数,若,则f(a—b)的值为

　 (A) 1　　　　  (B)2　　  (C)3　　　　  (D)

(4) 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为

  A　90　　 B 60　　C 45　　　 D 30

(5)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①：在丙地区中有20个特大型销焦点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是

  （A）分层抽样，系统抽样法　 　　　 （B）分层抽样法，简单随机抽样法

  （C）系统抽样法，分层抽样法　　　　（D）简随机抽样法，分层抽样法

 （6）设函数若f(--4)=f(0),f(--2)=--2,则关于x的方程的解的个数为

  （A）1　　　　　 （B）2　　　　　  （C）3　　　　 （D）4

  （7）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是

　 （A）≥4　　　　  （B）≥

（C）≥　　　　（D）≥

（8）数列中，则=

　　（A）　　　　 （B）　　  （C）　　　　　 （D）

（9）设集合≤0},

那么点P(2,3)　　　　　  的充要条件是

 (A)m＞—1 ,n＜5　　　　 (B) m＜--1 ,n＜5

 (C) m＞—1 ,n＞5　　 　　(D) m＜--1 ,n＞5

(10) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为

　 (A)56　　　　　 (B) 52　　　  (C)48　　　　　 (D)40

　

(12)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是

(A) (--3,0)

(13)已知向量向量,则的最大值是　　　　　 .

(14)同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上, ξ=0表示结果中没有正面向上,则Eξ=　　　　　　　　　　 .

(15)若的展开式中的常数项为84,则n=　　　　 .

(16)设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点

使组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为　　　　　　 .

三.解答题: 本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

　 已知求的值.

(19) (本小题满分12分)

如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,

　　 点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.

　　 (Ⅰ)证明　PA⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:

(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.

(20)(本小题满分12分)

已知函数其中a≤0,e为自然对数的底数.

　(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;

(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.

(21)(本小题满分12分)

 如图,过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

　(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ，证明

(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

（22）（本小题满分14分）

如图，直线与相交于点P。直线与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线于点Q₁，过点Q₁作y轴的垂线交直线于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线于点Q₂，…，这样一直作下去，可得到一系列点P₁，Q₁，P₂，Q₂，…。点P_n（n=1,2,…）的横坐标构成数列。

　(Ⅰ)证明

(Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)比较与的大小。

2004年高考试题湖南卷数学答案

一选择题

1. D　2.A  3.B　4.C　5.B　 6.C　7.B  8.C　9.A　 10.C　　B　12.D

二.填空题

13. 4　　 14.0.75　 15. 9　　 16.

三.解答题:

(17) (本小题满分12分)

 已知求的值.

　 解: 由=

　　　　　　　　　　　　　　　 =

　得　又,所以.

于是

　　　　　　　　　　　　　  =

　　　　　　　　　　　　　  =

　　　　　　　　　　　　　 =.

 (19) (本小题满分12分)

　 (Ⅰ)证明 因为底面ABCD是菱形, ∠ABC=60º,

  所以AB=AD=AC=a.

  在△PAB中,由

 知PA⊥AB.

 同理, PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.

(Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD

知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC.

∠EHG为二面角θ的平面角.

又PE:ED=2:1

所以

从而

(Ⅲ)解法一　 以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0,0,0),B(

D(0,a,0),P(0,0,a), E(0,

所以

 设点F是棱PC上的点, 其中0<λ<1,则

　 =

 令得

　　　　　　　　　 

　　　　　即

　　　　　　　　　　　 .

解得

即　时,　　共面.

又BF平面AEC,所以当F是棱PC的时,BF∥平面AEC.

解法二　当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下.

　证法一　取PE的中点M,连结FM,则FM∥CE. ①

　由知E是MD的中点.

　连接BM、BD,设BDAC=O，则O为BD的中点。

 所以BM∥OE。　②

 由①、②知,平面BFM∥平面AEC.

 证法二

因为

　　　 =

　　　=

　所以、、共面。

　又BF平面AEC,从而BF∥平面AEC。

（20）（本小题满分12分）

解 (Ⅰ)

　　（）当a=0时，令=0, 得x=0.

　　　　若x>0. 则>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;

　　　 若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.

　　　(当a<0时,令=0,得x(ax+2)=0,故x=0或

　　 若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.

　　 若0<x<则>0.从而f(x)在(0, )上单调递增;

　　若x> 则<0.从而f(x)在(+∞)上单调递减.

(Ⅱ) (当a=0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1.

　 (当时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=.

　当a≤-2时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是.

  　 21.解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得

　　　　　　　　①

设A、B两点的坐标分别是（x₁,y₁）、(x₂,y₂),则x₁、x₂是方程①的两根。

所以

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

 得， 即

又点Q是点P关于原点的以称点，

故点Q的坐标是（0，--m）,从而

　　　　  =

　　　　　　　  =

　　　　　　　 =

　　　　　　　 =

　　　　　　　 =0，

　　 所以

 (Ⅱ) 由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。

　　 由得，

　所以抛物线在点A处切线的斜率为。

 设圆C的方程是，

 则

　解之得　

　  所以圆C的方程是，

22.（本小题满分14分）

  (Ⅰ)证明　设点的坐标是由已知条件得

点的坐标分别是：

由在直线上，

得

所以

即

(Ⅱ)解 由题设知 又由（Ⅰ）知

所以 数列是首项为x₁—1 ,公比为的等比数列。

从而即，。

(Ⅲ) 解　由得点P的坐标为（1，1）。

所以

（当，即或时，

　 而此时0所以故

当0 即时，

而此时所以故