西安中学高三年级第一学期期中考试
数学试题
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）
1．已知M={xy=x，x∈R}，
，则M∩N等于（ ）
A．{（0，0），（1，1）} B．{ xx∈R }
C．{yy≥0} D．φ
2．已知集合A={a，b，c}，集合B={m，n}，设映射f：A→B。如果集合B中的元素都是A中元素在f下的象，那么这样的映射f有（ ）
A．8个 B．6个 C．4个 D．2个
3．奇函数y=f(x)（x∈R）有反函数
，则必在的图象上的点是（ ）
A．（-f(a)，-a）
B．
C．（-f(a)，a ）
D．
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，
，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．9
5．函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．定义在R上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间（0，+∞）上的最大值为10，那么函数F(x)在（-∞，0）上的最小值为（ ）
A．-10 B．7 C．-7 D．-4
7．若把函数y=f(x)的图象做平移，可以使图象的点P（1，0）变换成点Q（2，2），则函数y=f(x)的图象经过此变换后所得图象对应的函数为（ ）
A．y=f(x-1)+2 B．y=f(x-1)-2
C．y=f(x+1)+2 D．y=f(x+1)-2
8．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，那么a与b不可能（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
9．圆台上、下底面面积分别为
，平行于底面的截面面积为
，那么截面到上、下底面距离之比为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
10．圆锥的高h=8，它的侧面展开图的圆心角是216°，那么这个圆锥的全面积是（ ）
A．96π B．24π C．84π D．60π
11．正四棱台
下底面为ABCD，上底边长：侧棱长：下底边长=1：2：3，侧面对角线
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．三棱锥A-BCD的高
，H为底面△BCD的垂心，若AB=AC，二面角A-BC-D等于60°，G为△ABC重心，则HG的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共有4道小题，每小题4分，共16分）
13．若
（x≤0），则
=_______________。
14．（如右图）矩形ABCD边长分别为15，20，PA⊥平面ABCD，则点P到CD边的距离为_______________；点P到BD的距离为_______________。
15．（理科做）球外切圆台的上、下底半径分别为1和3，则球的体积是_______________。
（文科做）二面角内有一点，它到两个面的距离相等，并且等于它到棱的距离的一半，这个二面角的度数为_______________。
16．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x-2)=-f(x)，给出下列四个结论：
①f(2)=0；
②f(x)是以4为周期的函数；
③f(x)的图象关于直线x=0对称；
④f(x+2)=f(-x)。
其中所有正确结论的序号是_______________。
三、解答题（本大题共有6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）
17．已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，那么f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数？写出你的推理过程。
18．如图，三棱锥P-ABC的底面△ABC内接于圆O，PA垂直于圆O所在的平面。
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC。
（2）若PA：PB=4：3，
，求直线PB和PAC所成角的大小。
19．已知关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)有实数解，求实数a的取值范围。
20．已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，若PD=6，M，N分别是PB，AB的中点。
（1）求证：MN⊥CD；
（2）求三棱锥P-DMN的体积；
（3）求二面角M-DN-C的平面角。
（文科不做第（3）问）
21．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：
，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应为多少才能获得最大利润？
22．（理科做）已知函数
（0<a≠1，k∈R）。
（1）当0<a<1时，若f(x)在[1，+∞]内有意义，求k的取值范围；
（2）当a>1时，若f(x)的反函数就是它本身，求k的值；
（3）在（2）的条件下，解方程
。
（文科做）设函数y=f(x)满足lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)，
（1）求f(x)的表达式；
（2）求f(x)的值域；
（3）求f(x)的单调区间。
参考答案：
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．0
14．
；15
15．
；60°
16．①②④
三、解答题（共6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）
17．解：设
，则
∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，
∴
又f(x)是奇函数，
∴
∴
故f(x)在（-∞，0）上是增函数
18．证（1）∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC
又∵AB是⊙O的直径
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面PAC
又
∴平面PAC⊥平面PBC
（2）∵BC⊥平面PAC
∴∠BPC为PB和平面PAC所成的角
设PA=4k，AB=3k，则PB=5k
∵，
∴
在Rt△PCB中，
∴∠BPC=30°为所求
19．解：原方程等价于
由其图象易得当
时，
原方程有解
20．（1）∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥CD
又CD⊥DA，
∴CD⊥平面PDA
∴CD⊥PA
又∵M、N分别是PB、AB的中点
∵MN∥PA
∴MN∥CD
（2）设AC∩BD=0，连MO、PN
∵MO∥PO
∴MO⊥平面ABCD且
∵N是AB的中点，
∴
∴
（3）过O作DN作垂线OK，垂足为K，连ON，MK
则MK⊥ND
∴∠MKO是二面角M-DN-C的平面角
∵
又
∴
∴
∴
为所求。
21．解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（3-x）万元。
依题意，甲种商品可获利
万元，乙种商品可获利
万元，共获利为
当
，即
时
（万元）
答：甲种商品投入0.75万元，乙种商品投入2.25万元，可获得最大利润1.05万元。
22．（理科）解：f(x)在[1，+∞）内有意义，
即
时x∈[1，+∞）均成立，
即
时x ∈[1，+∞）均成立
∵0<a<1，∴
∴
在[1，+∞）上是增函数，
当x=1时，其最小值为1，
∴当k<1时，f(x)在[1，+∞）内有意义
（2）显然k≠0，
从而
∴
为使
对f(x)定义域内的一切x都成立，
则
，
整理得
对定义域中的一切x都成立
∴
此时
（x<1）
（3）由a>1，
及x<1得
∴原方程有唯一解x=-1
（文科）解：（1）
（0<x<3）
（2）令
，当x∈（0，3）时，
∴
（3）f(x)在
上递增，在
上递减。