湖南省十校联考理科数学试题
命题人:刘菊秋 南方中学
谭祖荣 衡阳一中
何华清 涟源一中
黄小红 株洲县五中
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分;在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)
1、已知
A. B.() C. D.()
2、
A. B. C. D.
3、已知平面上三点A、B、C满足,,,则的值等于
A.25 B.24 C.-25 D.-24
4、设a,b,c是空间三条直线,,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是
A.当c⊥时,若c⊥,则∥
B.当时,若b⊥,则
C.当,且c是a在内的射影时,若b⊥c,则a⊥b
D.当,且时,若c∥,则b∥c
5、函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图:
则函数y=f(x)g(x)的图象可能为
A B C D
6、
A.等腰三角形 B. 直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
7、 若(x–)6的展开式中的第五项是, 设Sn = x –1 + x –2 + … + x – n , 则Sn等于
A.1 B. C. D.
8、如右图所示,在单位正方体
的面对角线上存在一点使得最
短,则的最小值为
A.2 B. C. D.
9、椭圆与直线交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则 值
A. B. C. D.
10.由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中,取出两条,这两条直线是异面直线的概率为
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11、在条件下, 的取值范围是________ 。
12、将函数y=f(x)sinx的图象向右平移个单位后,再作关于x轴对称的曲线,得到函数
y=1-2sin2x, 则f(x)=________.
13、
14、在数列在直线上,,则 。
15、已知f ( x )是定义在实数集上的函数,且f ( x + 2) =, 若f ( 1 ) = 2 + ,
则f ( 2005) = .
三、解答题(本大题共6个小题,共80分)
16.(本小题满分12分)已知向量=(sinB,1-cosB),且与向量(2,0)所成角为,其中A, B, C是⊿ABC的内角.
(1)求角B的大小;
(2)求sinA+sinC的取值范围.
17、(本小题满分12分)下表为某体育训练队跳高成绩的分布,共有队员40人,成绩分为1~5五个档次,例如表中所示跳高成绩为4分,跳远成绩为2分的队员为5人。将全部队员的姓名卡混合在一起,任取一张,该卡片队员的跳高成绩为x,跳远成绩为y,设x,y为随即变量(注:没有相同姓名的队员)
(1)求的概率及且的概率;
(2)求的值;若y的数学期望为,求m,n的值.
y x | 跳 远 | |||||
5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||
跳 高 | 5 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 |
4 | 1 | 0 | 2 | 5 | 1 | |
3 | 2 | 1 | 0 | 4 | 3 | |
2 | 1 | m | 6 | 0 | n | |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 |
18、(本题满分14分)已知梯形中,∥,,,、分别是、上的点,∥,,是的中点。沿将梯形翻折,使平面平面(如图)。
(1) 当时,求证:;
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;
(3) 当取得最大值时,求二面角D-BF-C的大小。
19.(本小题满分14分)
|
(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点,
,求直线E、F的斜率之和。
20.(14分)已知等差数列的首项为a,公差为b;等比数列的首项为b,公比为a,其中a,,且.
(1)求a的值;
(2)若对于任意,总存在,使,求b的值;
(3)在(2)中,记是所有中满足, 的项从小到大依次组成的数列,又记为的前n项和,是的前n项和,求证:≥.
21、(本小题满分14分)
设函数、R)。
(1)若,过两点(0,0)、(,0)的中点作与轴垂直的直线,与函数的图象交于点,求证:函数在点P处的切线点为(,0)。
(2)若),且当时恒成立,求实数的取值范围。
湖南省十校联考理科数学参考答案
一、选择题
1-5ABCBA 6-10 DADAB
二、填空题
11、 ; 12、2cosx ; 13、1 ; 14、2 ; 15、。
三、解答题(本大题共6个小题,共80分)
16.解:(1)∵=(sinB,1-cosB) , 且与向量(2,0)所成角为
∴……………………………………………………………………3’
∴tan ……………………6’
(2)由(1)得
………………………………………………8’
∵
∴……………………………………………………………………10’
∴
当且仅当 …………………………………………12’
17、解:(1)当时的概率为……………2分
当且时的概率为…………4分
(2)……………………6分
,,,
因为y的数学期望为,所以………10分
于是,………………………12分
18、解:∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可建立空间坐标系E-xyz。则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),
D(0,2,2),E(0,0,0)
(1)(-2,2,2)(2,2,0)
(-2,2,2)(2,2,0)=0,∴……4分;
(2)∵AD∥面BFC,VA-BFC==4(4-x)x
即时有最大值为。……8分
(3)设平面DBF的法向量为,∵AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2),
F(0,3,0),∴(-2,2,2),
则 ,即,
取x=3,则y=2,z=1,∴……11分
面BCF的一个法向量为
则cos<>=……13分
二面角D-BF-C的平面角为π-arccos……14分。
19、解(1) ……………2分
由已知 ………………4分
……………5分
(2)设过点A的直线为
…9分 …………11分
, 所以
,由,得=0 …………14分
20、解:(1)∵ ,a,,
∴ ∴ ∴
∴ . …………4分
∴ a=2或a=3(a=3时不合题意,舍去). ∴a=2.…………5分
(2),,由可得
. ∴ .
∴ b=5 …………8分
(3)由(2)知,, ∴ .
∴ . ∴ ,.……10分
∵ ,. …………11分
当n≥3时,
.
∴ . 综上得 …………14分
21、解(1)由已知 …………1分
…………2分
所求,所求切线斜率为 …………3分
切线方程为
所以,函数y=f (x)过点P的切线过点(b,0) …………4分
(2)因为,所以,
…………5分
当时,函数上单调递增,在(,)单调递减,
在上单调递增.
所以,根据题意有 即
解之得,结合,所以 …………8分
当时,函数单调递增。 …………9分
所以,根据题意有 …………10分
即, 整理得()
令,
,所以“”不等式无解。 …13分
综上可知:。 …………14分