自贡市高2006年一诊考试
数 学 （理 科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至8页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1、答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3、本卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
| 参考公式： | |
| 如果事件A、B互斥，那么 | 球的表面积公式 |
| P(A+B)=P(A)+P(B) | S=4πR2 |
| 如果事件A、B相互独立，那么 | 其中R表示球的半径 |
| P(A·B)=P(A)·P(B) | 球的体积公式 |
| 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 |
|
|
| 其中R表示球的半径 |
一、选择题
1、已知p且q为真，则下列命题中真命题的个数为
① p ② q ③p或q ④非p
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2、若（3+4i）Z=5，则
为
（A）3+4i （B）
（C）
（D）
3、已知
的分布列为
对应
且设
，则
的期望是
（A）
（B）
（C）
（D）1
4、已知点
在第一象限，则在[0，2π]内a的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
5、曲线
的一条切线平行于直线
，则切点p的坐标为
（A）（0，－2）或（1，0） （B）（1，0）或（2，8）
（C）（－1，－4）或（0，－2） （D）（1，0）或（－1，－4）
6、等差数列
的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15=p（常数），则数列
中也是常数的项是
（A）S7 （B）S8 （C）S13 （D）S15
7、从4台甲型和5台乙型电脑中取出3台，其中至少要有1台甲型和1台乙型电脑，则不同的取法种数为
（A）35 （B）70 （C）84 （D）140
8、设集合M={直线}，N={抛物线}，则M∩N中的元素个数是
（A）1 （B）0 （C）0或1 （D）1或0或2
9、4本书和5张光盘的价钱之和小于20元，而6本书与3张光盘的价钱之和大于24元，则2本书和3张光盘的价钱相比较，结果是
（A）2本书的价钱高 （B）相同
（C）3张光盘的价钱高 （D）大小不一定
10、若f (x)是R上的减函数，且f (x)的图象过点（0，3）和（3，-1），则不等式
的解集是
（A）
（B）（1，4） （C）（0，3） （D）（-1，2）
11、已知定点R的坐标为（0，-3），点P在x轴上，
，线段PM与y轴交于点Q且满足
，若点P在x轴上运动，则点M的轨迹方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
12、已知函数
则
（A）
（B）
（C）
（D）
第II卷
注意事项：
1、用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2、答题前将密封线内的项目填写清楚。
3、本卷共10小题，共90分。
| 题号 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
| 分数 | ||||||||
| 得分 |
| ||
|
|
13、若直线
按向量
平移后与圆C：
相切，则实数m=
。
14、
的展开式中
的系数为
，则实数a的值为 。
15、已知数列中，
，且
，则
S2005= 。
16、设有四个条件：
①平面
与平面
、
所成的锐二面角相等；
②直线a // b，a⊥平面 , b⊥平面β；
③a，b是异面直线，a
平面a，b平面β，且a //β，b // a；
④平面a内距离为d的两条平行直线在β内的射影仍为两条距离为d的平行线。其中能推出平面a //平面β的条件有 （填写所有正确条件的代号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
| 得分 |
| ||
|
|
某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有2个交通岗，假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6。
计算：（1）2次都遇到红灯的概率；
（2）至少遇到1次红灯的概率。
| 得分 |
| ||
|
|
设a、b、c分别是ΔABC的边BC、CA、AB的长，且
（m为常数），若
，求常数m的值。
| 得分 |
| ||
|
|
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC
|
②求点A到平面PBC的距离；
③求二面角A－PC－B的大小。
| 得分 |
| ||
|
|
已知定义在[－1，1]上的偶函数f (x)在[0，1]上为增函数，其图象与x轴有两个交点，横坐标分别为x1, x2，且
，解不等式
（其中a>0且a≠1）
| 得分 |
| ||
|
|
已知函数
（1）若x>1，求证
；
（2）是否存在的实数k，使方程
有四个不同的实根？若存在，求出k的取值范围，若不存在，说明理由。
| 得分 |
| ||
|
|
已知
（c>0），
（n, n）（n∈R）, 
的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：①
，②
（其中
）
；③动点P的轨迹C经过点B（0,－1）。
（1）求c值；
（2）求曲线C的方程；
（3）方向向量为
的直线l与曲线C交于不同两点M、N，若
，求k的取值范围。
自贡市高2006级一诊考试数学答案（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
CBBAD CBBAD AC
二、填写题（每小题4分，共16分）
理科：13、-3或-13；14、
；15、4009；16、②③
文科：13、10025；14、；15、
；16、②③
三、解答题（共6小题 共74分）
17、解：设“第一次遇到红灯”为事件A，“第二次遇到红灯”的事件B，
（1）P（A•B）=P（A）•P（B）=0.6×0.6=0.36
∴他两次都遇到红灯的概率为0.36 （6分）
（2）
（9分）
∴至少遇到一次红灯的概率为
（12分）
18、解：
（4分）
∵
（9分）
∴
（10分）
又a2+b2=mc2代入上式得：
（11分）∴m=201 （12分）
19、解：（1）∵PA⊥面ABC，PB=PC
∴AB=AC PA⊥AC （1分）
在RtΔPAC中
则PB=PC=BC=5 （2分）
取BC中点D，连AD在等腰ΔABC中AD=
（3分）
∴
（4分）
（2）连PD则PD⊥BC，又AD⊥BC，∴BC⊥平面PAD （5分）
∵BCC面PBC，∴面PAD⊥面PBC于PD （6分）
过A作AE⊥PD，则AE⊥面PBC即AE为A到面PBC的距离 （7分）
在RtΔPAD中，PA·AD=PD·AE
∴AE=
（8分）
（也可用等积法来求）
（3）作AF⊥PC于F，连结EF，由三垂线定理的逆定理有EF⊥PC （9分）
∴∠AFE为二面角A—PC—B的平面角 （10分）
在RtΔPAC中，由PA·AC=PC·AF得AF=
（11分）
∴二面角A—PC—B为 
(12分)
理20、解：
又
（2分）
即
（3分）∵f(x)在[0，1]上为增函数 ∴f(x)在[-1，0]上为减函数 （4分）
（1）若0≤logax≤1则f(logax)>0
又0≤logax≤1 ∴
（6分）
当
时，
当0
时 
（10分）
文20、
是定义在R上的奇函数 ∴
（2分）又
∴f(x)为R上的单调递增函灵敏 （4分）
（6分）
∴
（8分） 于是
恒成立（9分）
∴
（11分）解得
（12分）
理21、解：（1）令
（1分）
则 
（4分）
由
>1得 
处连续，所以F()在[1，+∞]上单调递增（5分）
故
时，
=0 即
（6分）
（2）令
（7分）
由
得
或
或
（9分）
易知
在
和（0，1）内递减，在（-1，0）和（1，+∞）内递增（10分）
∴
（11分）
∴
时，方程
有四个不同的实根。（12分）
文21、解：（1）由
化间得：
（2分）
∵直线与曲线有两个不同的交点
∴
（5分）
解得 
且
（6分）
（2）设
则
（7分）
（8分）
又点O到直线
的距离
（9分）
由Δ面积公式有
（10分）
化简得：
（11分）
∴当
或
时，ΔAOB的面积为
（12分）
理22、解：（1）法一，∵
（1分）
（2分）
当
时，
（3分）
法二，由
可知点G在直线y=x上
∴FG的最小值为点F到直线y=x的距离，即
（
）
（2）由
知
又
（4分）
又
（
）∴
∴点P在以F为焦点，
为准线的椭圆上（5分）
设P(x,y)，则
（6分）∵动点P的轨迹C经过点B(0,-1)且
∴
从而b=1（7分） ∴曲线C的方程为：
（8分）
（3）设直线
的方程为
由
（9分）
∵与曲线C交于不同两点，∴
，即
①（10分）
设
的中点
由则有BR⊥MN
∵KMN=KL=K∴
（11分）由韦达定理有
∴
∴MN的中点R0坐标为
（12分）又B（0，-1）
∴
②（13分）
由①②联立可得
即
∴
为R上的减函数（1分）
（3分）志求闭区间为[-1，1]（4分）
（2）
（5分）（或∵
）∴
在R不可能恒为正式恒为负）
（6分）
（7分）
∴
在R上不是单调函数，故不是闭函数（8分）
（3）
在（0，
）上是增函数（9分）
设[
]
（0，∞），
（11分）
即方程
有两个不相等的正根（12分）
于是
故
的取值范围是
（14分）