高中数学必修4测试D
考号 班级 姓名
一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1. 化简
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知
是
的
边上的中线，若
、
，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且
＝－2
，则P点的坐标为（ ）
A.（－14，16） B.（22，－11）
C.（6，1） D.（2，4）
5. 已知函数
的周期为T，在一个周期内的图像如图所示，则正确的结论是（ ）
A．
B．
C．
D．
6. 将函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移
个单位，则所得函数图像对应的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.若平面四边形ABCD满足
，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8.函数
的最小正周期是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9. 设单位向量e1、e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.定义运算
，如
.已知
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，
11.根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的值在各象限的符号（用“＋”或“－”）填入括号（填错任何一个将不给分）。
|
|
sin
cos
tan
12.已知点A（1，2）、B（3，4），则向量
坐标为＿＿＿＿ .
13. sin15°cos15°的值等于＿＿＿＿ .
14.设
的值等于＿＿＿＿ .
15.已知函数
，若对任意x∈R，都有
，则
＝＿＿＿＿.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分10分) 已知
，且角是第四象限角，求与
的值.
17. (本小题满分12分)设
，
是两个相互垂直的单位向量，且
，
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求的值.
18.
(本小题满分12分)已知
、
，
与
的夹角为120°，求：⑴
；⑵
.
19. (本小题满分13分)已知α∈(0，
)，且cos2α＝
.
(Ⅰ)求sinα＋cosα的值；
(Ⅱ)若b∈(，π)，且5sin(2α＋β)＝sinβ，求角β的大小 ．
20.
(本小题满分13分)已知函数
（x∈R）.
⑴若
有最大值2，求实数a的值；⑵求函数的单调递增区间.
2009届六安二中高三文1、2、8班必修4测试D 答案
一、选择：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A. | C. | B. | D。 | C | A | C | B. | D | Ａ |
二、填空题
11、
|
|
12、解：（2，2）.13、解：sin15°cos15°＝
sin30°＝
.14、解：
.15、解：0。
16、解： ∵、且角是第四象限角，
…2分
∴
，
…6分
.
…10分
17、解法一：（1）由，且
，故存在唯一的实数
，使得
，
即
…6分
（2）
，
，即
，
，
…12分
解法二：∵，是两个相互垂直的单位向量，
∴
、
，
…4分
⑴∵，∴
，解得
；
…8分
⑵，，即
，解得
。…12分
18、解：⑴
；
…6分
⑵
…12分
解：⑴；
…6分
⑵
…12分
19、解：(I)由cos2α＝，得1－2sin2α＝.
……2分
所以sin2α＝
，又α∈
，所以sinα＝
.
……3分
因为cos2α＝1－sin2α，所以cos2α＝1－
＝
.
又α∈
，所以cosα＝
……5分
所以sinα＋cosα＝
＋
＝
.
……6分
(Ⅱ)因为α∈，所以2α∈
，
由已知cos2α＝，所以sin2α＝
＝ 
＝ 
……7分
由5sin(2α＋β)＝sinβ，得5(sin2αcosβ＋cos2αsinβ)＝sinβ. ……9分
所以5(cosβ＋sinβ)＝sinβ，即3cosβ＝－3sinβ，所以tanβ＝－1. ……11分
因为β∈
， 所以β＝
.
……13分
20、解：⑴
，
当
（k∈Z）时，有最大值，
…3分
即
（k∈Z）时，有最大值为3＋a，∴3＋a＝2，解得
；…6分
⑵令
，
…9分
解得
（k∈Z）
…12分
∴函数的单调递增区间
（k∈Z）. …14分
21.
(本小题满分15分)已知定点A(－1，0)和B(1，0)，P是圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上的一动点，求
的最大值和最小值.
分析：因为O为AB的中点，所以
故可利用向量把问题转化为求向量
的最值。
解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：
…2分
又由中点公式得
…4分
所以
＝
＝
＝
…8分
又因为
点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上，
所以
且
…10分
所以
…12分
即
故
…14分
所以
的最大值为100，最小值为20.
…15分