苏州中学高三数学综合训练（7）
班级 姓名 得分
一、选择题：
1．在锐角
中，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．（1，
）
C．
D．（―1，1）
2．已知x,y为正实数，且x，a1, a2, y成等差数列，x, b1, b2, y成等比数列，那么
的取值范围是 （ ）
A．（0，+∞） B．
C．
D．[2，4]
3．已知函数f (x)（0≤x≤1）
的图象是一段圆弧（如图所示）若
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．前三个判断都不正确
4．已知
等于 （ ）
A．－
B．－
C． D．
5．已知a,b,c为三条不同的直线，且a
平面
，b平面β，α∩β=c
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交. ②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直. ③若a//b，则必有a//c ④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β
以上的命题中，正确的是 （ ）
A．②③④ B．①③ C．①④ D．②③
6．已知集合A={1，2，3，4，5，6}，若a∈A，b∈A，则离心率互不相同的椭圆
的个数为 （ ）
A．15 B．13 C．12 D．11
7．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a>c>0)，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 （ ）
A．2(a－c) B．2(a+c) C．4a D．以上答案均有可能
8．已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，f(a)<1设
则（ ）
A．n<s<m B．m<s<n C．s<m<n D．n<m<s
9．区间
所得的象集区间为
，若区间的长度比区间
的长度大5，则
＝（ ）
A．5 B．10 C．2．5 D．1
10．已知
，
，点
是圆
上的动点，点
是圆
上的动点，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
11．已知x2+xy+y2=3，则x2+y2的范围是 ．
12．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为2，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为 ．
13．将函数
的反函数的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位之后，得到函数g(x)的图象，则g(1)+3·g(3)+5·g(5)+7·g(7)+9·g(9)的值等于
．.
14．已知F1、F2为双曲线
=1(a＞0,b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，它与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2=30°，则双曲线的渐近线方程为 ．
|
15．如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，
中间4个点在某个圆内，其余12个点在圆外.
在16个点中任选3个点构成三角形，其中恰
有两个顶点在圆内的三角形有 个；
至少有一个顶点在圆内的三角形有 个.
16．一只电子蚂蚁在如图2所示的网络线上由原点(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,n
Ｎ)，记可能的爬行方法总数为f(m,n), 下列有４逐步形成结论：
①f(2,1)=f(1,2)=3;
②f(2,2)=6;
③f(3,3)=21;
④f(n,n)= 
其中所有正确结论的序号是
三、解答题：
17．一张形状为等边三角形的球桌，设其顶点为
．一个球从
边的中点
击出，击中
边上的某点
，并且依次碰击
边于点
，最后击中边于点
，设
，求
的取值范围．
（∠DEB=∠CEF，∠EFC=∠AFG）
18．已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体：①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数；②在f(x)的定义域内存在区间[a，b]，使得f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]．
(1)判断函数y＝－x3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出区间[a，b]．
(2)若函数y＝＋t∈M，求实数t的取值范围．
19．如右图，正三棱柱
的所有棱长均为2，
是棱
上的一动点．
（1）当在棱上运动时，
是否有能与平面
垂直，说明理由；
（2）当
时，求线段
的长；
（3）在（2）的条件下，求二面角
的大小．
20．如图，
为椭圆
上的一个动点，弦
分别过焦点
．当
垂直于
轴 时，恰好
．
（I）求该椭圆的离心率；
（II）设
，
，
试判断
是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
21． 已知函数
的定义域为[0，1]，且同时满足：
（1） 对任意
，总有
；
（2） 
；
（3） 若
，则有
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）试求的最大值；
（Ⅲ）设数列
的前
项和为
，满足
求证：
苏州中学数学参考答案及评分标准
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | B | C | C | B | D | D | A | A | D |
二、填空题
11．[2，6] 12． 
13．15
14． y=±
x
15．60；312
16．①、②、④
三、解答题
17．解：由为等边三角形及入射角等于反射角易见
∽
∽
，2分
∴
． 3分
不失一般性，设等边的边长为2，且
，
则有
，且
． 8分
在中，由正弦定理得
． 10分
而
， （文12分）
即
． 12分
18．解：(1)y＝－x3的定义域是R，
y'＝－3x2≤0，∴y＝－x3在R上是单调减函数．
则y＝－x3在[a，b]上的值域是[－b3，－a3]．
由 解得：或 (舍去)或 (舍去)
∴函数y＝－x3属于集合M，且这个区间是[－，]
(2)设g(x)＝＋t，则易知g(x)是定义域[1，＋∞
上的增函数．
g(x)∈M，∴存在区间[a，b]
[1，＋∞，满足g(a)＝a，g(b)＝b．
即方程g(x)＝x在[1，＋∞内有两个不等实根．
[法一]：方程＋t＝x在[1，＋∞内有两个不等实根，
等价于方程x－1＝(x－t)2在[2t，＋∞内有两个不等实根．
即方程x2－(4t＋4)x＋4t2＋4＝0在[2t，＋∞内有两个不等实根．
根据一元二次方程根的分布有
解得0＜t≤．
因此，实数t的取值范围是0＜t≤．
[法二]：要使方程＋t＝x在[1，＋∞内有两个不等实根，
即使方程＝x－t在[1，＋∞内有两个不等实根．
如图，当直线y＝x－t经过点(1，0)时，t＝，
当直线y＝x－t与曲线y＝相切时，
方程＝x－t两边平方，得x2－(4t＋4)x＋4t2＋4＝0，由△＝0，得t＝0．
因此，利用数形结合得实数t的取值范围是0＜t≤．
19． 解：（1）无论在的任何位置都不能与平面垂直．
反证法：假设
平面，则
，必有与
重合；平面，则必有
，即
与
矛盾． 3分
（2）连结
交
于点
，则
，又
， 4分
∴
平面
，且垂足为．
∴
．取
的中点，连结
、
，则
面
而为在面内的射影，由三垂线逆定理知
，而四边形为正方形， 7分
∴易见为棱
的中点．
∴
． 8分
（3）由（2）知，
面
，过
作
于，连
则
所求二面角的平面角， 9分
在
中（如右图）
，
∴
在
中，
，
． 11分（文12分）
∴所求二面角大小是
． 12分
20． 解：（I）当C垂直于x轴时，
由
，得
，
在Rt△
中，
解得 
=
．
（II）由=
，则
，
．
焦点坐标为
，则椭圆方程为
，
化简为
．设
，
，
①若直线的斜率存在，则直线方程为
代入椭圆方程有
．
由韦达定理得：
，∴
所以
，同理可得
故=
．
②若直线
轴，
，
，
∴＝6．
综上所述：是定值6．