10 概率与统计
一、选择题
1．(福建5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为
，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ C
）
A.
B.
C.
D.
2．（江西11）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（ C ）
A．
B．
C．
D．
3．9辽宁7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）
A．
B．
C．
D．
4．(山东9) 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）
| 分数 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 人数 | 20 | 10 | 30 | 30 | 10 |
A．
B．
C．3 D．
5．(重庆5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是 ( D )
(A)简单随机抽样法 (B)抽签法
(C)随机数表法 (D)分层抽样法
6．(重庆9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 ( B )
(A)
(B)
(C)
(D)
7．(陕西3 ) 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ）
A．30 B．25 C．20 D．15
二、填空题
1．
（广东11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为
，
，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在
的人数是________.13
2．（宁夏16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① ；
② ．
参考答案：
（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．
（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．
（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．
注：上面给出了四个结论．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
3．（湖南12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。60
4．（江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 
5．（江苏6）在平面直角坐标系
中，设
是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，
是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率 
6．（上海8）在平面直角坐标系中，从六个点：
中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．
7．（上海10）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 ．
8．(天津11) 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人．10
9．(湖北11).一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .10
10．(湖北14).明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 0.98
三、解答题
1．（安徽18）．（本小题满分12分）
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。
（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。
解：（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为
，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为
（2）设
表示所抽取的三张卡片中，恰有
张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为
则
, 
因而所求概率为
2．（北京18）（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到
四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加
岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件
，那么
，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是
．
（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么
，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
．
3．（福建18）（本小题满分12分）
三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为
且他们是否破译出密码互不影响.
(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；
(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.
解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有
且A1，A2，A3相互独立.
（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有
B＝A1·A2·
·A1·
·A3+
·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3
彼此互斥
于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3）
＝
＝
.
答：恰好二人破译出密码的概率为.
（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.
D＝··，且，，互相独立，则有
P（D）＝P（）·P（）·P（）＝
＝.
而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.
答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
4．（广东19）（本小题满分13分）
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
| 初一年级 | 初二年级 | 初三年级 | |
| 女生 | 373 | x | y |
| 男生 | 377 | 370 | z |
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1） 求x的值；
（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
已知y
245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
解：（1）
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；
由（2）知 
，且 
,
基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个
事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个
5．（宁夏19）（本小题满分12分）
为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：
5，6，7，8，9，10．
把这6名学生的得分看成一个总体．
（Ⅰ）求该总体的平均数；
（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：（Ⅰ）总体平均数为
．··················································································· 4分
（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．共15个基本结果．
事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．
所以所求的概率为
． 12分
6．（江西18）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；
（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
解：（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件
7．（湖南16）(本小题满分12分)
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是
，且面试是否合格互不影响.求：
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率：
(Ⅱ)没有人签约的概率.
解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=.
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是1－P(
)
＝1－
.
(Ⅱ)没有人签约的概率为
＝
＝
8．（辽宁18）（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
| 周销售量 | 2 | 3 | 4 |
| 频数 | 20 | 50 | 30 |
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；
（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．
解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．·························· 4分
（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为
（ⅰ）
．············································································· 8分
（ⅱ）
．······················································· 12分
9．（全国Ⅰ20）（本小题满分12分）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
解：对于甲：
| 次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 概率 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 |
对于乙：
| 次数 | 2 | 3 | 4 |
| 概率 | 0.4 | 0.4 | 0.2 |
．
10．（全国Ⅱ19）（本小题满分12分）
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
解：记
分别表示甲击中9环，10环，
分别表示乙击中8环，9环，
表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（Ⅰ）
，············································································· 2分
．······································································· 6分
（Ⅱ）
，···································································································· 8分
，
，
．································· 12分
11．(山东18)（本小题满分12分）
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者
通晓日语，
通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求
被选中的概率；
（Ⅱ）求
和
不全被选中的概率．
解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{
，
，
，
，
，
，
，
，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用
表示“恰被选中”这一事件，则
{，
}
事件由6个基本事件组成，
因而
．
（Ⅱ）用
表示“
不全被选中”这一事件，则其对立事件
表示“全被选中”这一事件，
由于
{
}，事件有3个基本事件组成，
所以
，由对立事件的概率公式得
．
12．（四川18）（本小题满分12分）
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为
，购买乙种商品的概率为
，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。
【解】：（Ⅰ）记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记
表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅱ）记
表示事件：进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；
表示事件：进入商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；
表示事件：进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品；
13．(天津18)（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与
，且乙投球2次均未命中的概率为
．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得
，
解得
或
（舍去），所以乙投球的命中率为．
解法二：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得
，
于是
或
（舍去），故
．
所以乙投球的命中率为．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，
，
．
故甲投球2次至少命中1次的概率为
．
解法二：由题设和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率为
．
（Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，
，
．
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为
，
，
．
所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为
．
14．（浙江19）（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有10个球。从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是
。求：
（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；
（Ⅱ）袋中白球的个数。
（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为
．
记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则
．
（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，
设袋中白球的个数为
，则
，
得到
．
15．（重庆18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分.）
在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;
（Ⅱ）至少答对一道题的概率.
解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为
.
由独立重复试验的概率计算公式得：
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为
(Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为
解法二：至少有一道题答对的概率为
16．(陕西18)（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；
（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有
种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有
种结果，则所求概率
．
（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为
，第二次摸出红球的概率为
，第三次摸出红球的概率为
，则摸球次数不超过3次的概率为
．