2005年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国卷Ⅰ）
河南 河北 安徽 山西
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题
（1）设
为全集，
是的三个非空子集，且
，则下面论断正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为
，则球的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知直线
过点
，当直线与圆
有两个交点时，其斜率k的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知双曲线
的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线的离心率为
（A）
（B） （C）
（D）
（6）当
时，函数
的最小值为
（A）2 （B）
（C）4 （D）
（7）设
，二次函数
的图像为下列之一
则
的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设
，函数
，则使
的
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为
（A）
（B） （C）
（D）2
（10）在
中，已知
，给出以下四个论断：
①
②
③
④
其中正确的是
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
（11）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
（A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对
（12）复数
=
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3．本卷共10小题，共90分。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）若正整数m满足
，则m = 。
（14）
的展开式中，常数项为
。（用数字作答）
（15）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m =
（16）在正方形
中，过对角线
的一个平面交
于E，交
于F，则
①
四边形
一定是平行四边形
②
四边形有可能是正方形
③
四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
④
四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（17）（本大题满分12分）
设函数
图像的一条对称轴是直线
。
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求函数
的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线
与函数的图像不相切。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（18）（本大题满分12分）
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
底面ABCD，且PA=AD=DC=
AB=1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（19）（本大题满分12分）
设等比数列
的公比为
，前n项和
。
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设
，记
的前n项和为
，试比较
与的大小。
| 得分 | 评卷人 |
|
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（20）（本大题满分12分）
9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为
，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望。（精确到
）
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（21）（本大题满分14分）
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值。
| 得分 | 评卷人 |
|
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（22）（本大题满分12分）
（Ⅰ）设函数
，求
的最小值；
（Ⅱ）设正数
满足
，证明
