2005年全国高考数学试卷三（四川理）
(必修+选修II)
第一卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 已知
为第三象限的角，则
所在的象限是( )
A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C第一或第三象限 D 第二或第四象限
2、已知过点
和
的直线与直线
平行，则的值为 ( )
A 
B 
C 
D 
3、若
的展开式中
的系数是( )
A 
B 
C 
D 
4、设三棱柱
的体积为
，
分别是侧棱
、
上的点，且
，则四棱锥
的体积为( )
A 
B 
C 
D 
5、
( )
A 
B 
C 
D 
6、若
，则( )
A 
B 
C 
D 
7、设
，且
，则（ ）
A 
B 
C 
D 
8、
( )
A 
B 
C 1 D
9、已知双曲线
的焦点为
，点
在双曲线上且
，则点到
轴的距离为（ ）
A 
B 
C 
D
10、设椭圆的两个焦点分别为，过
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
，若
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A 
B 
C 
D 
11、不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）
A 3个 B 4个 C 6个 D 7个
12、计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
| 十六进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
| 十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则
（ ）
A 6E B 72 C 5F D B0
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。
13、已知复数：
，复数
满足
，则复数
14、已知向量
，
，
，且A、B、C三点共线，则
15、设
为平面上过点
的直线，的斜率等可能地取
，用
表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望
。
16、已知在
中，
，是
上的点，则点到
的距离乘积的最大值是
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。
17、（本小题满分12分）
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率
18、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小
19、（本小题满分12分）
中，内角
的对边分别是
，已知成等比数列，且
（Ⅰ）求
的值
（Ⅱ）设
，求
的值。
20（本小题满分12分）
在等差数列
中，公差
，
是
与
的等比中项，已知数列
成等比数列，求数列的通项
21、（本小题满分12分）
设
，
两点在抛物线
上，是的垂直平分线。
（Ⅰ）当且仅当
取何值时，直线经过抛物线的焦点
？证明你的结论；
（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在
轴上截距的取值范围。
22、（本小题满分14分）
已知函数
，
（Ⅰ）求
的单调区间和值域；
（Ⅱ）设
，函数
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，求
的取值范围
2005年全国高考数学试卷三（四川理） 参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | B | B | C | A | C | C | B | C | D | D | A |
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。
13．
14．
15．
16．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。
17．解：（Ⅰ）求已知得
解得：
，
，
所以甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5
（Ⅱ）记
的对立事件为
，
的对立事件为
，
的对立事件为
，
则：
，
，
于是
所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7
18．方法一：（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE
∵VAD是正三角形
∴AE⊥VD，AF=
AD
∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE
又由三垂线定理知BE⊥VD
因此，
是所求二面角的平面角
于是，
即得所求二面角的大小为
方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。
（Ⅰ）证明：不妨设
，则
，
由
，得
又
，因而与平面
内两条相交直线
都垂直。
∴
平面
（Ⅱ）解：设
为
中点，则
由
，得
，又
因此，是所求二面角的平面角。
∵
∴解得所求二面角的大小为
19．解：（Ⅰ）由得
由
及正弦定理得
于是
（Ⅱ）由得
，由可得
，即
由余弦定理 
得
∴ 
20．解：依题设得
，
∴
，整理得
∵ ∴
得
所以，由已知得
是等比数列
由，所以数列
也是等比数列，首项为1，
公比为
，由此得
等比数列的首项，公比
，所以
即得到数列的通项为
21．解：（Ⅰ）
两点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是轴的平行线，
，依题意
不同时为0
∴上述条件等价于
∵
∴上述条件等价于
即当且仅当时，经过抛物线的焦点。
（Ⅱ）设在轴上的截距为
，依题意得的方程为
；过点
的直线方程可写为
，所以
满足方程
得
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
，即
设的中点
的坐标为
，则
，
由
，得
，于是
即得在轴上截距的取值范围为
22．解：对函数求导，得
令
解得 
或
当变化时，
、的变化情况如下表：
| x | 0 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| ||
|
|
|
|
|
|
|
所以，当
时，是减函数；当
时，是增函数；
当
时，的值域为
（Ⅱ）对函数
求导，得
因此，当时， 
因此当时，为减函数，从而当时有
又
，
，即当
时有
任给
，
，存在使得，则
即
解
式得 或
解
式得 
又，
故：的取值范围为