2006届湖北省黄冈市黄州区统一调研试题
数 学（理科A卷）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
参 考 公 式：
sinαcosβ=
［sin(α+β)+sin(α－β)］
cosαsinβ=［sin(α+β)－sin(α－β)］
cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α－β)］
sinαsinβ=－［cos(α+β)－cos(α－β)］
sinα+sinβ=2sin
sinα－sinβ=2cos
cosα+cosβ=2cos
cosα－cosβ=－2sin
S台侧=（c′+c)l(c、c′分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长）
V台体=
（S′+
+S）h(S′、S分别表示上、下底面积，h表示高）
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=
一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知二次函数f(x)=(x－a)(x－b)－2(a＜b)，并且α、β（α＜β）是方程f(x)=0的两根，则a、b、α、β的大小关系是
A.α＜a＜b＜β B.a＜α＜β＜b
C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b
2.已知θ∈［0,π］，f(θ)=sin(cosθ)的最大值为a，最小值为b,g(θ)=cos(sinθ)的最大值为c，最小值为d，则a、b、c、d从小到大的顺序为
A.b＜d＜a＜c B.d＜b＜c＜a
C.b＜d＜c＜a D.d＜b＜a＜c
3.设复数z1=2－i，已知z2=z1,且arg
，则复数z2的值为
A.1+2i B.1－2i
C.－1+2i D.－1－2i
4. 某地区高中分三类，A类校共有学生4000人，B类校共有学生2000人，C类校共有学生3000人.现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类校抽取的试卷份数应为
A.450 B.400
C.300 D.200
5.给定两个向量a=（3，4），b=（2，1），若（a+xb）⊥(a－b)，则x的值等于
A.－3 B.
C.3
D.－
6. 已知F1、F2为双曲线
=1(a＞0,b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，它与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2=30°，则双曲线的渐近线方程为
A.y=±
x B.y=±
x
C.y=±
x
D.y=±
x
7. 点P在曲线y=x3－x+7上移动，过P点的切线的倾斜角取值范围是
A.［0，π)
B.(0,
)∪［
,π
C.［0, ∪(,
D.［0, ∪［,π)
8. 若某等差数列{an}中，a2+a6+a16为一个确定的常数，其前n项和为Sn，则以下也为确定的常数的是
A.S17 B.S15
C.S8 D.S7
9.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，4）重合，若点（7，3）与点（m,n）重合，则m+n的值为
A.4 B.－4
C.10 D.－10
10.设方程2－x=lgx的两根为x1、x2，则
A.x1x2＜0 B.x1x2=1
C.x1x2＞1 D.0＜x1x2＜1
11. 如上图，正方体ABCD—A1B1C1D1 中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
12.设数集M={xm≤x≤m+
}，N={xn－≤x≤n}，且M、N都是集合{x0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{xa≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是
A. B.
C.
D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
13.不等式x2－(a+1)x+a＞0的解集为{xx＜－1或x＞1，x∈R
，则a的取值范围为 .
14.已知f(x)=2x3－6x2+m(m为常数)在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为 .
15.某地一种出租车的车费的计算规定如下：基本车费为7元，行程不足3公里时，只收取基本车费；行程不足5公里时，大于等于3公里的那部分，每增加0.5公里，加收车费0.7元，不足0.5公里按0.5公里计算（如：行程为x公里，在4≤x＜4.5时，车费为7+0.7×3=9.1元；行程大于等于5公里时，大于等于5公里的那部分，每增加0.2公里，加收车费0.4元.如果某人从A地到B地，共付车费11元，那么从A地到B地的行程x的范围是 .
16. 如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通. 今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种.
三、解答题(本大题共6小题；共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（
， 1）,且当x∈［0, ］时，f(x)取得最大值2－1.
（Ⅰ）求f(x)的解析式；
（Ⅱ）是否存在向量m，使得将f(x)的图象按向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m;若不存在，说明理由.
18.（本小题满分12分）
在袋里装30个小球，其中彩球有：n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.
求：(Ⅰ)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？
(Ⅱ)如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是
，且n≥2，计算红球有几个？
(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.
19.（本小题满分12分）
设数列{an}满足下列关系式：a1=2a(a≠0，a是常数)，an=2a－
；数列{bn}满足关系式bn=
.
(Ⅰ）用数学归纳法证明：an≠a;
(Ⅱ)证明数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）求
an.
20.（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；
（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=ln(2－x)+ax在（0，1）上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若数列{an}满足a1=c∈(0,1)且an+1=ln(2－an)+an(n∈N*)，证明0＜an＜an+1＜1;
(Ⅲ)已知an存在，求其值.
22.（本小题满分14分）
已知抛物线y2=2(x+)的焦点为F，准线为l，试判断：是否存在同时满足以下两个条件的双曲线C：
（1）双曲线C的一个焦点是F，相应F的准线为l；
（2）直线m垂直于x－y=0，双曲线C截直线m所得的线段的长为2，并且截得线段的中点恰好在直线x－y=0上.
若存在，求出这条双曲线的方程；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题
1.A (根据二次函数的图象即得)
2.A (由正余弦函数的值域和单调性得)
3.D (根据复数乘除法的几何意义)
4.B 5.A
6.D
(由a2+b2=c2及直角三角形PF1F2中的边角关系求得
)
7.D (过P点的切线的倾斜角正切值的范围即是y=3x2－1的值域［－1，+∞），由此得答案)
8.B (a2+a6+a16=3a1+21d=3a8是一个确定的常数，因此S15=15a8是常数)
9. C ( 提示：点（7,3)与点（m,n)关于点（2，0）与点（－2，4）的中垂线对称)
10.D
(设两根为x1＜x2，结合图象知
前两个式子相减整理得
lg(x1x2)=
＜0，由此易得答案＝
11.B (设异面直线A1C与EF所成角为θ，正方体棱长为1，
得
=1，所以选B)
12.C
(集合M的长度为、集合N的长度为，因M、N都是集合{x0≤x≤1}的子集，而{x0≤x≤1}的长度为1，由此得集合M∩N的“长度”的最小值是（
)
二、填空题
13.a≤0 14.－37 15.5.4≤x＜5.6 16.13
三、解答题
17.
解： （Ⅰ）由题意知
∴b=c=1－a,
∴f(x)=a+(1－a)sin(2x+). 3分
∵x∈［0, ］,
∴2x+∈［,
］.
当1－a＞0时，
由a+(1－a)=2－1,
解得a=－1;
当1－a＜0时，
a+(1－a)·=2－1,无解;
当1－a=0时，a=2－1，相矛盾.
综上可知a=－1.
∴f(x)=－1+2sin(2x+). 8分
(Ⅱ)∵g(x)=2sin2x是奇函数，将g(x)的图象向左平移
个单位，再向下平移一个单位就可以得到f(x)的图象.
10分
因此，将f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x)=2sin2x的图象.
故m=(，1)是满足条件的一个向量.
12分.
18.解：(Ⅰ)将5个黄球排成一排只有
种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上，有
种放法 ,
∴所求的排法为
=5×4×3×2×6×5×4=14400（种）.
4分
(Ⅱ)取3个球的种数为
=4060,设“3个球全红色”为事件A，“3个球全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C.
P（B）=
，
∵A、B、C为互斥事件，
∴P（A+B+C）= P（A）+P（B）+P（C）,
即
取3个球红球的个数n≤2.
又∵n≥2，故n = 2 . 8分
(Ⅲ)记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则
为“3个球中没有红球”,
P（D）=1－P（）=1－
或P（D）=
12分
19.（Ⅰ） 证明：当n=1时，由a1=2a得a1－a=2a－a=a≠0，∴a1≠a.
即n=1时，结论成立. 1分
设n=k时结论成立，即ak≠a，
则当n=k+1时,
ak+1－a=(2a－
)－a
=a－=
≠0.
∴ak+1≠a.即n=k+1时，结论成立. 3分
因此，对所有自然数n，都有an≠a. 4分
(Ⅱ)证明： ∵an－a=(2a－)－a
=
，
∴bn=
即bn=
.
∴bn－bn－1=
是一个常数，即数列{bn}是等差数列.
8分
(Ⅲ) 解：∵{bn}是等差数列，其通项为：
bn=b1+(n－1)·
=
+(n－1)·
=+（n－1）·=
,
又an－a=
=
,
∴an=a+,
∴an=a.
12分
20.(法一)（Ⅰ） 证明： 取A1B1的中点F，连EF、C1F.
∵E为A1B中点，
∴EF 
BB1.
2分
又∵M为CC1中点，
∴EF
C1M,
∴四边形EFC1M为平行四边形，
∴EM∥FC1. 4分
而EM
平面A1B1C1D1，FC1
平面A1B1C1D1.
∴EM∥平面A1B1C1D1. 6分
（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，
平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，
∴A1N∥EM∥FC1，
∴N为C1D1中点.
过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理BH⊥A1N，
∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角. 8分
设AA1=a，则AB=2a.
∵A1B1C1D1为正方形,
∴A1N=
a.
又∵△A1B1H∽△NA1D1,
∴B1H=
.
在Rt△BB1H中，
tanBHB1=
,
即二面角B—A1N—B1的正切值为
. 2分
（法二）(Ⅰ) 证明：建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a,AA1=a(a＞0),则
A1（2a,0,a）,B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a). 2分
∵E为A1B的中点，M为CC1的中点,
∴E（2a,a,
）,M(0,2a, ).
∴EM∥A1B1C1D1. 6分
（Ⅱ)解：设平面A1BM的法向量为n=(x,y,z),
又
=（0，2a,－a）,
=(－2a,0,),
由n⊥,n⊥,得
∴
∴n=(
,a).
9分
而平面A1B1C1D1的法向量为n1=(0,0,1).
设二面角为θ，则cosθ=
.
又二面角为锐二面角,
∴cosθ=
. 11分
从而tanθ= 12分
21.解：（Ⅰ）f′(x)=
+a,
2分
由于f(x)在（0，1）上是增函数，
∴+a＞0在x∈(0,1)上恒成立，
∴a＞－恒成立.
4分
而－2＜x－2＜－1,
∴－1＜＜－,
∴＜－＜1,
∴a≥1即为所求. 6分
（Ⅱ）（ⅰ）由题设知a1=c∈(0,1),
（ⅱ）假设0＜ak＜1，
当n=k+1时，由（Ⅰ)知f(x)=ln(2－x)+x在（0，1）上是增函数,
∴ak+1=ln(2－ak)+ak＞0，且ak+1=ln(2－ak)+ak＜1,得0＜ak+1＜1.
由（ⅰ）（ⅱ）得n∈N*时,0＜an＜1.
又∵an+1－an=ln(2－an)＞0,
∴0＜an＜an+1＜1,n∈N*. 9分
（Ⅲ）设an=m，
由an+1=ln(2－an)+an，得到
an+1=［ln(2－an)+an］.
即m=ln(2－m)+m,
∴m=1，即an=1.
12分
22.解：∵y2=2(x+),
∴焦点为F（0，0），准线l：x=－1. 2分
设双曲线C存在，其离心率为e，点（x,y)为双曲线C上任意一点，
由条件
=e,得
（1－e2）x2+y2－2e2x－e2=0. 4分
又设与x－y=0垂直的直线m为y=－x+b,
则双曲线C应与m有两个交点，设为A（x1,y1）、B(x2,y2),且AB=2.
由
得(2－e2)x2－2(e2+b)x+b2－e2=0.
则
(*)成立，
且x1+x2=
,x1x2=
. 9分
又AB=2，所以2［(
)2－4()］=8,
所以
=1.① 11分
又AB的中点M（
）在直线x－y=0上，
∴
.②
由①、②解得
此时（*）成立，所以满足条件的双曲线C存在，其方程为3x2－y2+8x+4=0. 14分