湖北省名校第二次数学（理科）联考题
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟
命题人：吴校红
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合
，
，那么P（2，3）∈A∩（CuB）的充要条件是
（
）
A. 
＞-1且
＜5
B. ＜-1且＜5
C. ＞-1且＞5
D. ＜-1且＞5
2. 已知
=，则
的值是
（
）
A. 
B.
C. 
D.
3. 若a、b、c是互不相等的实数，且a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，则
a：b：c等于 （ ）
A. （-2）：1：4 B. 1：2：3 C. 2：3：4 D. （-1）：1：3
4. 若直线
始终平分圆
的周长，则
的取值范围是
（ ）
A. （0，1） B. （0，1） C. （-∞，1） D. （-∞，1）
5. 设函数
，若
，则
的值等于
（
）
A. 2500
B. 50
C. 100 D.
2
6. 设
，则
展开式的第5项是
（
）
A. 35i B. –21i C. 21 D. 35
7. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，
且A1E=
A1D，AF=
AC，则
（
）
A. EF至多与A1D、AC之一垂直 B. EF是A1D、AC公垂线
C. EF与BD1相交 D. EF与BD1 异面
8. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以
表示取出的球的最大号码，则E等于
（ ）
9. 若
定义：
，例如
，则函数
（
）
A．是偶函数不是奇函数 B.是奇函数不是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
10. 已知椭圆的离心率为
，两焦点分别为F1，F2 ，抛物线C以F1为顶点、F2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若
，则的值为
（
）
A. 
B.
C.
D.
以上均不对
11.函数
、
且
的图像如图所示，
且
＜0，则有
A．a＞0,b＞0 B.a＜0,b＜0
C.a＜0,b＞0 D.a＞0,b＜0
12. 一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步，再后退2步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，方向正方向，以一步的距离为一个单位长， 令P(n)表示第n秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)=0，那么下列结论中错误的是
（ ）
A. P（3）= 3 B. P（5）= 1 C. P（101）= 21 D. P（103）＜ P（104）
第Ⅰ卷答题卡
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 答案 |
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．已知在整数集合内，关于
的不等式
＜
的解集为﹛1＝，则实数
的取值范围是
。
14．若半径为R的球与正三棱柱的各个面相切，则球与正三棱柱的体积比是 。
15．把座位编号分别为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分1张，至多分两张，且分得两张票必须是连号的，那么不同的分法种数是
。
16．已知
，其值域设为D，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D的元素是
。（写出所有可能的数值）。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分12分)已知向量
，向量，与向量的夹角为
，且=-1
(1)求向量；
(2)设向量=(1,0)，向量
，其中0＜＜
，若
=0，试求｜
︱的取值范围。
18．（本小题满分12分）设函数
的图像关于原点对称，
的图像在点
处的切线的斜率为-6，且当
时有极值。
（1）
求、b、c、d的值；
（2）
若
、
，求证：︱
︱≤
。
19．(本小题满分12分)新上海商业城位于浦东陆家嘴金融贸易区中心地带，它由第一八
佰伴、时代广场等18幢高层商厦，10000平方米中心花园，九座天桥以及600米长的
环形步行街有机组成，是一座集购物、餐饮、娱乐、休闲、办公于一体的综合性、多功能的现代化商城，其中某一新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190
名售货员，计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元，根据经验，各部商品每l万元营业额所需售货员人数如表l，每1万元营业额所得利润情况如表2，商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c(9≤c≤19.7)万元，商场分配给经营部的日营业额为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个经营部?各部分别安排多少名售货员?
表1 各部每1万元营业额所需人数表 表2各部每1万元营业额所得利润表
| 部 门 | 利 润 |
| 百货部 | 0.3万元 |
| 服装部 | 0.5万元 |
| 家电部 | 0.2万元 |
| 部 门 | 人 数 |
| 百 货 部 | 5 |
| 服 装 部 | 4 |
| 家 电 部 | 2 |
20．（本小题满分12分）如图，正方形A1BA2C的边长为4，D是A1B的中点，E是BA2上的点，将△A1DC及△A2EC分别沿DC和EC折起，使A1A2重合于A，且二面角A—DC—E为直二面角。
（1） 求证：CD⊥DE；
（2） 求AE与面DEC所成角的正弦值；
（3） 求点D到平面AEC的距离。
21．（本小题满分12分）如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：
=1上的一点
已知
=0，且∣
∣=2∣
∣.
（1） 求双曲线的离心率；
（2） 过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于
P1，P2两点，若
=
=0，
求双曲线C的方程。
22．（本小题满分14分）已知正项数列
和
中，1 = （0＜＜1＝，
.当≥2时，
.
（1） 证明：对任意
有
；
（2） 求数列的通项公式；
（3） 记
为数列
的前项和，求
的值.
数学（理科）参考答案
一、1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.D 7.B 8.C 9.B 10.C 11.A 12.D
二、13. 2≤
＜
14. 
15.
144 16.–26，14，65
三、17.（1）令
，则
即
或
，故
或
（2）
故
=
=
=
＜
＜
＜
＜
则-1≤
＜
∴≤
＜
故
≤
＜
.
18.（1）
的图象关于原点对称，∴由
恒成立有
.
则
又
∴
故
（2）
＜0，
在
[-1，1]上递减而
∴
≤
≤
即
≤≤
∴
≤同理可得
≤∴
≤+≤
故≤.
|
万元（
）
|
|
由 ①②消去z得：
，代入①得：
≤c≤19.7 ∴8≤≤10 而 ∴
或
故该商场分配营业额及各部售货员人数的方案有两种，分别为：
方案1： 方案2：
| 部 门 | 营业额 | 人 数 |
| 百 货 部 | 10 | 50 |
| 服 装 部 | 20 | 80 |
| 家 电 部 | 30 | 60 |
| 部 门 | 营业额 | 人 数 |
| 百 货 部 | 8 | 40 |
| 服 装 部 | 23 | 92 |
| 家 电 部 | 29 | 58 |
20. （1）∵A1、A2重合于A
∴AC⊥AD，AC⊥AE，故AC⊥面ADE ∴AC⊥DE
∵A-DC-E为直二面角， ∴过A作AF⊥CD于F，则AF⊥面CDE，
故CD为AC在面CDE上的射影，由三垂线定理的逆定理有：CD⊥DE.
（2）∵AF⊥面CDE，∴∠AEF为AE与面DEC所成的角，
在Rt△CAD中，AD=2，AC=4，∴DC=2
，AF=
，
又∵CD⊥DE，∴在正方体A1BA2C中，△DBE～△CA1D
故
，∴DE=又∵DE⊥CD，DE⊥AC，∴DE⊥面ACD，则
DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，AE=3，故在Rt△AFE中，
∴AE与面DEC所成角的正弦值为
.
（3）设D到面AEC的距离为d，则由VD—AEC=VA—DEC有：
∴3×4d=2
故
，即点D到平面AEC的距离为
.
21.（1）由
得
，即△F1PF2为直角三角形.
设
，则
于是有（2r）2+r2=4c2和2r-r=2a5×（2a）2=4c2e=.
则
①
由
得
∵点
在双曲线
上，∴
，又
.
∴上式为
. 简化得：
②
由①②得a2=2，从而得b2=8. 故所求双曲线方程为
.
22.（1）证明：用数学归纳法证明.
① 当n=1时，a1+b1=a+（1-a）=1，命题成立：②假设n=k（k≥1且
）时命题成立，即ak+bk=1，
则当
时，
=
.
∴当时，命题也成立.综合①、②知，
对
恒成立.
（2）解；∵
∴
，即
③ ∴数列
是公差为1的等差数列，其首项是
∴
，从而
.
（3）解：∵
， ③式变形为
，∴
，
∴
.
∴
.