湖南省2006届高三 百校大联考 第一次考试
数 学 (文) 试 卷
总分：150分 时量：120分钟 2006年3月12日
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、
条件p：“log2x<1”,条件q：“x<2”，则
p是q成立的 （ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件
2、 在等比数列
中，
，
，则
的值为（ ）
A、48 B、72 C、144 D、192
3、 一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：
| 组别 | (10,20] | (20,30] | (30,40] |
| (50,60] | (60,70] |
| 频数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 |
则样本在
上的频率为 （ ）
A、12% B、40% C、60% D、70%
4、
设函数
是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，若
，则 （ ）
A、
B、且
C、
D、 
5、
过点
作圆
的两切线，设两切点为
、
，圆心为
，则过、、的圆方程是
（ ）
A、
B、
C、
D、
6、
已知椭圆
与双曲线
有相同的准线，则动点
的轨迹为（ ）
A、椭圆的一部分 B、双曲线的一部分 C、抛物线的一部分 D、直线的一部分
7、
把函数
的图象沿直线
的方向向右下方移动
个单位长度，得到的图形恰好是函数
的图象，则是（ ）
A、
B、
C、
D、 
8、
若圆x2+y2=r2(r>0)至少能盖住函数
的一个最大值点和一个最小值点，则r的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、以上都不对
9、 从6名教师中选派4人分别到A、B、C、D四个农村学校去支教，要求每个学校有一人支教，每人只能支援一个学校，由于种种原因，教师甲不能去A校，教师乙不能去B校，则不同的选派方案共有 （ ）
A、360种 B、300种 C、252种 D、192种
10、
已知A、B、C三点共线，O是这条直线外一点，设
且存在实数m，使
0成立，则点A分
的比为（ ）
A、
B、 
C、 
D、 
二、填空题（每题4分，共20分）
11、
的展开式中的常数项是______.(用数字作答)
12、 已知球的内接正方体的棱长为2，则该球的体积为 ．
13、
已知数列满足：
，
，则
等于______
14、
函数
的图象如右，则
=______,
=______.
15、
给出如下4个命题：①若α、β是两个不重合的平面，
、m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是⊥α，m⊥β，且∥m；②对于任意一条直线a，平面α内必有无数条直线与a垂直；③已知命题P：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P的逆否命题是假命题；④已知a、b、c、d是四条不重合的直线，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，则“a∥b”与“c∥d”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是______. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上)
湖南省2006届高三百校大联考第一次考试
数学答卷（文科）
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是等差数列，其前n项和为Sn，
. （1）求数列
| 座位号 |
|
，判断△ABC的形状.
|
| 座位号 |
|
，湖南省2006届高三百校大联考第一次考试
数学（文科）答案
一、BDCCA、DABCA
二、11、84 12、
13、
14、3，
15、①②④
三、
16、解：（1）
…………4分
………………6分
（2）
………………9分
当n=5时Sn取大值
………………12分
17、解：（1）由已知
，得
∴
，∴
． …………6分
（2）
∴△ABC为等边三角形。 …………12分
18、(1)解法一:联结AC交DB于点O. ∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.
又PD⊥平面ABCD,AC
平面ABCD, ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.
作OF⊥PB于点F,联结AF,则AF⊥PB.
∴∠OFA就是二面角A-PB-D的平面角. …………2分
∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB.
令PD=AD=2，则在RT
ABC中,PA=
,AB=2.
∴PB=
,∴
.
∴在RTAOF中,sin
,∴
.
∴二面角A-PB-D的大小为
. …………7分
解法二:建立如图所示的直角坐标系.
联结AC,交BD于点O,取PA中点G,联结DG.
∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.
又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.
∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB.
∴AB⊥平面PAD.
∵PD=AD,G为PA中点, ∴GD⊥平面PAB.
故向量
分别是平面PBD与平面PAB的法向量.
令PD=AD=2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴
=(-2，2，0).
∵P(0,0,2),A(2,0,0),
∴G(1,0,1),∴
=(1,0,1). …………4分
∴向量的夹角余弦为
，
∴
,∴二面角A-PB-D的大小为. ………7分
(2)解法一: 当点E是线段PB中点时,
有PC⊥平面ADE. …7分
证明如下:
取PC中点H,联结EH,DH,则有EH∥BC,
又BC∥AD,故有EH∥AD.
∴平面ADE即平面ADHE. …………9分
∵PD=DC,H为PC中点, ∴PC⊥DH.
又∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC.
∴PC⊥平面ADHE,即PC⊥平面ADE. …………14分
解法二：建立如图所示的直角坐标系.
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC.
设E是线段PB上的一点，令
.
令PD=AD=2，则P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),
∴
(-2,0,2),
(2,2,-2),
(0,2,-2).
∴
.
∴
.
令
2
(
-
)=0,得
.
∴当,即点E是线段PB中点时,有AE⊥PC.
又∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC.
∴当点E是线段PB中点时,有PC⊥平面ADE. …………14分
19、解:(1)依题意知
， ∴s=
．
………3分
（2）
的取值可以是0，1，2.…………………………5分
甲、乙两人命中10环的次数均为0次的概率是
，
甲、乙两人命中10环的次数均为1次的概率是
，
甲、乙两人命中10环的次数均为2次的概率是
，
∴
(
=0)=
．
…………8分
甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是
，
甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是．∴
(=2)=
=
， ……11分
∴(=1)=1
(=0)(=2)=
． ……14分
| |
| |
21、(1)解：设P（a,0），Q（0，b）则：
∴
…………1分 设M（x,y）∵
∴
…4分 ∴点M的轨迹曲线C的方程是
(x≠0) ．6分
(2)解法一：设A(a,b)，
，
（x1≠x2）
则：直线SR的方程为：
，即4y = (x1+x2)x－x1x2 ∵A点在SR上，∴4b=(x1+x2)a－x1x2 ①
…………8分
对求导得：y′=
x∴抛物线上S、R处的切线方程为：
即4
②
即4
③ …………11分
联立②③，并解之得
，代入①得：ax－2y－2b=0
故B点恒在直线ax－2y－2b=0上． …………14分
解法二：设A(a,b)
当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为y－b=k(x－a)与联立消去y得：x2－4kx+4ak－4b=0 …8分 设
，
（x1≠x2）
则由韦达定理：
…………9分
又过S、R点的切线方程分别为：
，
…11分
故有 
（k为参数）消去k，得：ax－2y－2b=0
故B点恒在直线ax－2y－2b=0上． …………14分