泉州市06届高三四校联考数学试卷（文科）（2006.1）
（试卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷 （选择题 共60分）
一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填入答题卡的表格中.)
1、cos600°= （ ）
A．
B．
C．
D．
2、已知函数
= （ ）
A．b B．－b C．
D．－
|
的反函数的图象大致是
（ ）
4、一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根的充分不必要条件是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5、一所中学有高一、高二、高三学生共1600名，其中高三学生400名.如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三年级的学生中抽取的人数是 （ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
6. 若P
为圆
的弦AB的中点, 则直线AB的方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7、若把函数
的图象按向量
平移后，得到函数
的图象，则原图象的函数解析式可以为 （ ）
A．
B．
C．
D．
8、已知抛物线的顶点为原点,
焦点在y轴上, 抛物线上点
到焦点的距离为4, 则m的值为
（ ）
A．4 B．－2 C．4或－4 D．2或－2
9、已知奇函数
的定义域为
，且对任意正实数
，恒有 
，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
10、若双曲线
和椭圆
的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
11、已知平面上直线
的方向向量
=
，点O（0，0）和A（1，－2）在上的射影分别是
和
，则
，其中λ= （ ）
A．
B．－ C．2 D． －2
12、离心率为黄金比
的椭圆称为“优美椭圆”. 设
是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则
等于
（ ）
A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°
第II卷 （非选择题 共90分）
二、 填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分。将正确答案填入答题卡中。)
13、若曲线
在点P处的切线平行于直线
, 则点P的坐标为
.
14、
的值是
.
15、若双曲线
的焦点到相应于该焦点的准线的距离是2，则k= .
16、给出平面区域如图所示, 目标函数为: 
若当且仅当
时, 目标函数t取最小值, 则实数a的取值范围是
.
三、解答题：(本大题共6小题，共74分。在答题卡中解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分12分）已知函数
在定义域（－1，1）上是减函数，且
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）解不等式
18. （本小题满分12分）已知等差数列
的首项
，且公差d＞0，第二项、第五项、第十四项分别是等比数列
的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列
对任意自然数n均有
成立，求
的值．
19．（本小题满分12分）已知△ABC内接于单位圆，且(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，
（1） 求证：内角C为定值；
（2） 求△ABC面积的最大值.
20．（本小题满分12分）已知
为抛物线
上任意一点, 直线为过点A的切线, 设直线交y轴于点B. P
, 且
.
(1) 当A点运动时, 求点P的轨迹方程；
(2) 求点
到动直线的最短距离, 并求此时的方程.
21．（本小题满分12分）已知
是定义在实数集R上的函数，其图象与x轴相交于A，B，C三点，若B点坐标为（2，0），且在[－1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.
（Ⅰ）求c的值，写出极值点横坐标的取值范围（不需要证明）；
（Ⅱ）在函数的图象上是否存在一点M（
），使曲线
在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
22．（本小题满分14分）如图，
分别是椭圆
的左右焦点，M为椭圆上一点，
垂直于
轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若G为椭圆上不同于长轴端点任一点， 求
取值范围；
（Ⅲ）过
且与OM垂直的直线交椭圆于P，Q. 若
，求椭圆的方程.
泉州市06届高三四校联考数学试卷（文科）（2006.1）
参考答案：
一、 选择题：ABCC BCAC DBDC
二、 填空题： 13、
； 14、－ ； 15、； 6
16、
三、解答题：
17.本题考查函数的基本知识和解不等式的知识.
解：（Ⅰ）由已知得：
.
…………………………… 6/
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴不等式
…………………………… 10/
则 原不等式的解集为
…………………………… 12/
18. 本题考查等差数列、等比数列的基本知识及数列通项、数列求和等知识.
解：（1）由题意得：
，解得：d＝2，
所以
，易得
．
…………………… 5/
（2）由题意得：
，所以
，………………… 8/
所以由错位相减法得
…………… 12/
19. 本题考查正切和角公式，正弦的和（差）角公式，三角形内角和定理、正弦定理，三角函数最值等知识.
（1） 证明：由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2tanA＋tanB＝1－tanAtanB
tan（A＋B）＝1.
…………………… 3/
∵A、B为△ABC内角， ∴A＋B＝
. 则 C＝
（定值）. …… 6/
（2） 解：已知△ABC内接于单位圆， ∴△ABC外接圆半径R=1.
∴由正弦定理得：
，
，
.…… 8/
则△ABC面积S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
…… 10/
∵ 0<B<， ∴
.
故 当
时，△ABC面积S的最大值为
.
…………………… 12/
20.本题考查求抛物线的切线、求轨迹、点到直线的距离、求最值等知识.
解: (1)设
, 因为
,
………………………… 1/
所以过点A的切线方程为
………………………… 2/
令
, 则
, B点坐标为
. ………………………… 3/
又
, ∴
消去a, 得
………………………… 6/
(2)设C到l的距离为d, 则
………… 8/
设
, 则
为t的增函数 …………………… 10/
∴
，此时a=0 .
………………………… 11/
故C到l的最短距离为
, 此时l的方程为
……………………… 12/
21. 本题考查导数与函数极值、函数单调性，导数的几何意义等知识，及分析问题和解决问题的能力.
解：（Ⅰ）∵在[－1，0]与[0，2]上有相反的单调性，
∴
……………………… 2/
又∵在 [0，2] 与[4，5]上有相反的单调性，
∴极值点横坐标的取值范围
……………………… 4/
（Ⅱ）令
∴ 函数的极值点为
……………………… 6/
根据（Ⅰ）得，
∴
……………… 8/
假设存在满足条件的点M
，
令
…………①
方程①的
∴方程①没有实数根. ∴不存在满足条件的M点. ………………… 12/
22. 本题考查椭圆的知识，余弦定理，均值不等式求最值等知识，及分析问题和解决问题的能力.
解：(Ⅰ)由已知
， ∵
∴
， ∴
，
……………………… 3/
(Ⅱ)设
，
当且仅当
时，
. ∴
……………………… 8/
(Ⅲ)由(Ⅰ)得
，
……………………… 11/
∴
∴椭圆的方程为
………………………………… 14/