2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第六章《不等式》
一、选择题(共15题)
1.(安徽卷)不等式的解集是( )
A. B. C. D.
解:由得:,即,故选D。
2.(江苏卷)设a、b、c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件,由于给出的是不完全提干,必须结合选择支,才能得出正确的结论。
【正确解答】运用排除法,C选项,当a-b<0时不成立。
【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件
如果
如果a,b是正数,那么
3.(江西卷)若a>0,b>0,则不等式-b<<a等价于( )
A.<x<0或0<x< B.-<x< C.x<-或x> D.x<或x>
解:
故选D
4.(山东卷)设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为
(A)(1,2)(3,+∞) (B)(,+∞)
(C)(1,2) ( ,+∞) (D)(1,2)
解:令>2(x<2),解得1<x<2。令>2(x³2)解得xÎ(,+∞)选C
5.(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:不等式(x+y)()≥9对任意正实数x,y恒成立,则≥≥9,∴ ≥2或≤-4(舍去),所以正实数a的最小值为4,选B.
6.(陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析:函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),二次函数的图象开口向上,对称轴为,0<a<3,∴ x1+x2=1-a∈(-2,1),x1与x2的中点在(-1,)之间,x1<x2,∴ x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离,∴ f(x1)<f(x2) ,选A.
7.(陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1<x2 , x1+x2=0 , 则( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析:函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),二次函数的图象开口向上,对称轴为,a>0,∴ x1+x2=0,x1与x2的中点为0,x1<x2,∴ x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离,∴ f(x1)<f(x2) ,选A.
8.(陕西卷)设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( )
A. 6 B.9 C.12 D.15
解析:x,y为正数,(x+y)()≥≥9,选B.
9.(上海卷)若关于的不等式≤+4的解集是M,则对任意实常数,总有( )
(A)2∈M,0∈M; (B)2M,0M; (C)2∈M,0M; (D)2M,0∈M.
解:选(A)
方法1:代入判断法,将分别代入不等式中,判断关于的不等式解集是否为;
方法2:求出不等式的解集:≤+4;
10.(上海卷)如果,那么,下列不等式中正确的是( )
(A) (B) (C) (D)
解:如果,那么,∴ ,选A.
11.(浙江卷)“a>b>c”是“ab<”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
【考点分析】本题考查平方不等式和充要条件,基础题。
解析:由能推出;但反之不然,因此平方不等式的条件是。
12.(浙江卷)“a>0,b>0”是“ab>0”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
解:由“a>0,b>0”可推出“ab>0”,反之不一定成立,选A
13.(重庆卷)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为
(A)-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2
解析:若且 所以,∴ ,则()≥,选D.
14.(重庆卷)若且,则的最小值是
(A) (B)3 (C)2 (D)
解:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=12+(b-c)2³12,当且仅当b=c时取等号,故选A
15.(上海春)若,则下列不等式成立的是( )
(A). (B). (C).(D).
解:应用间接排除法.取a=1,b=0,排除A. 取a=0,b=-1,排除B; 取c=0,排除D.故应该选C.显然 ,对不等式a>b的两边同时乘以 ,立得 成立.
二、填空题(共6题)
16.(江苏卷)不等式的解集为
【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法
【正确解答】,0〈,.
解得
【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法:(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小;(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小;,(3)计算所有数的值;(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形;(5)利用函数的单调性等等.
17.(上海卷)三个同学对问题“关于的不等式+25+-5≥在[1,12]上恒成立,求实数的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.
乙说:“把不等式变形为左边含变量的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.
丙说:“把不等式两边看成关于的函数,作出函数图像”.
参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即的取值范围是 .
解:由+25+-5≥,而,等号当且仅当时成立;且,等号当且仅当时成立;所以,,等号当且仅当时成立;故;
18.(天津卷)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则_______ 吨.
解:某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,一年的总运费与总存储费用之和为万元,≥160,当即20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小。
19.(浙江卷)不等式的解集是 。.
解:Û(x+1)(x-2)>0Ûx<-1或x>2.
20.(上海春)不等式的解集是 .
解:应用结论: .不等式 等价于(1-2x)(x+1)>0,也就是 ,所以 ,从而应填 .
21.(上海春)已知直线过点,且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,则三角形面积的最小值为 .
解:设直线 l 为 ,则有关系 . 对 应用2元均值不等式,得 ,即ab≥8 .于是,△OAB 面积为 .从而应填4.
三、解答题(共1题)
22.(湖南卷)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解:(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:
解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.
因为当,故方案乙的用水量较少.
(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为与,类似(I)得
,(*)
于是+
当为定值时,,
当且仅当时等号成立.此时
将代入(*)式得
故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 , 最少总用水量是.
当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.