数学测试
2006.9
一．选择题
1．函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若条件P：
，条件Q：
，则¬P是¬Q的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．函数
的图象大致是（ ） 
4．设
，则
＝（ ）
A．1 B．0 C．
D．
5．（理）
（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．
（文）如果
成等比数列，那么
A．
B．
C．
D．
6．设
是
的反函数，若
，则
的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．
D．4
7．设M＝｛1,2,3,4｝，N＝｛0,1,2｝,建立
的函数，则以N为值域的映射有（ ）
A．18个 B．36个 C．48个 D．81个
8．下列条件中，能确定三点A，B，P不共线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（理）
（
）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
（文）曲线
与
在交点处的切线的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．己知双曲线
的左右焦点分别为
，点P在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为
，且
，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．2 D．
11．设实数
满足
，若对满足条件的，不等式
恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝
，点P是平面ABCD上的动点，且P点到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．直线
二．填空题
13．己知点P
，Q
，直线
与线段PQ相交，则实数a的取值范围是
14．己知数列
的前n项和为
，且向量
与
共线，则数列
的前n项和
＝
15．关于x的方程
有实根，则实数m的取值范围是
16．把49个数排成如图所示的数表，若表中每行7个数自左至右依次成等差数列，每列自上而下依次也成等差数列，且正中间的数
＝1，则表中所有数的和为
三．解答题
17．己知
，
，
，其中
，
（1）若 
，求
的值
（2）若
，求
的值
18．（文）有一批食品出厂前要进行五项指标抽检，如果有两项指标不合格，则这批产品不能出厂，己知每项抽检是相互独立的，且每项抽检不合格的概率都是
，
（1）求这批食品不能出厂的概率；（保留三位有效数字）
（2）求直到五项指标全部检验完毕，才能确定该食品是否可以出厂的概率。
（理）袋中有红球3个，蓝球2个，黄球1个，任取一球确认颜色后放回袋中，最多可以取3次，但是若取到红球就不能再取了，
（1）求取出一次或二次的概率；
（2）假定每取一次可以得100元，求所得金额的期望；
（3）求恰好两次取到蓝球的概率。
19．己知ABCD为矩形，PD
平面ABCD，PD＝DC＝
，AD＝2，E为PB上一点，且PC平面ADE，
（1）求PC与平面PBD所成角的大小；
（2）求
的值
（3）求四棱锥P-ABCD夹在平面ADE与底面ABCD之间部分的体积。
20．双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为
,相应于焦点F
的准线
与x轴交于点A，且
，过点F的直线与双曲线交于P，Q两点，
（1）求双曲线方程及离心率；
（2）若
，求直线PQ的方程。
21．（理）己知函数
，
（
为常数），直线与函数
及
的图象都相切，且与的切点的横坐标为1，
（1）求直线的方程及a的值；
（2）当
时，讨论方程
的解的个数。
（文）己知函数
在区间（－2,1）内，当
时，取得极小值，
时，取得极大值，
求（1）函数
在
时的对应点的切线方程；
（2）函数在
上的最大值与最小值。
22．设函数
上两点P1
，P2
，若
，且P点的横坐标为
，
（1）求证：P点的纵坐标为定值1；
（2）求
（3）记为数列
的前n项和，若
对一切
都成立，求实数a的取值范围。
答案
一．选择
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| C | A | B | D | D |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | B | C | A | D |
| 11 | 12 | |||
| A | B | |||
二．填空题
13．
14．
15．［－3，0） 16．49
三．解答题
17．（文／理）①
②由
，得
18．（理）①P1＝
|
| 100 | 200 | 300 |
| P |
|
|
|
②
元
③ P＝
（文）解：（1）
（2）五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是
19．解：（1）在平面ABCD内作CGBD于G，连结PG，
PD平面ABCD，CG
平面ABCD，
PDCG，CG平面PBD 
CPG就是PC与面PBD所成的角。
在
BCD中，CG＝
＝
，又PC＝，故在PGC中，
CPG＝
又CPG为锐角，CPG＝
PC与平面PBD所成的角为
（2）设平面ADE与PC交于F，连DF，EF，PC平面ADE，DF平面ADE，PCDF
又PD＝DC，F为PC中点 BC//AD，BC
平面ADE BC//平面ADE
又平面ADE
平面PBD＝EF BC//EF
E为PB中点，故
（3）因为PD平面ABCD，所以PDAD，又ADDC， 所以AD平面PDC，又DF平面PDC，所以ADDF，又PF平面ADEF，EF=BC＝1，DF＝
DC＝
所以
，又
所以
，即四棱锥
夹在平面ADE与底面ABCD之间部分的体积为5
20．解：（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为
= 1（a＞0b＞0）
由已知
解得a =
，c = 3
所以双曲线的方程这
= 1离心率e =……………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），
当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x = 3 .此时,
≠0,应舍去.
当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y = ( x – 3 ).
由方程组
得
由一过点F的直线与双曲线交于P、Ｑ两点，
则
－２≠０，即k≠
，
由于△＝36
-4(-2)(9+6)
=48(+1)＞即k∈R.
∴k∈R且k≠（*） ……………………………………………………８分
设Ｐ（
，
），Ｑ（
，
），则
由直线PQ的方程得= k（-3），= k（-3）
于是=（-3）（-3）=[-3（+）+ 9] （3）
∵ = 0，
∴（-1，）·（-1，）= 0
即-（+）+ 1 + = 0
（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得
= 0
整理得=
∴k =
满足（*）
∴直线PQ的方程为x = 
-3 = 0或x +-3 = 0……………………14分
21．（理）解：（1）：y=x-1，a＝－
（2）
设
，令
，得
| x |
| －1 |
| 0 |
| 1 |
|
|
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ | 0 | － |
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
| 极大值 |
|
所以1）当
时有两个解
2）当
时有3个解
3）当
时有4个解
4）
时有两个解
5）当
时无解
（文）解：（1）
又，分别对应函数取极小值和极大值，则－1，
是方程
的两根
所以
此时
当时，
，此时
所以所求切线方程是：
即：
（2）
22．（文理）解（1）设P点的纵坐标为
因为所以P是P1P2的中点，即
，得
因为
所以
（2）由（1）可知，当时，
又
所以2
又
所以2
(3)
则
所以
因为
所以可变形为
要使上不等式成立，只需要大于
的最大值即可，令
，易知
所以
所以