苏州中学06届高三数学冲刺训练（五）
班级
姓名
得分
一、选择题：
[ ]1已知：
是R上的增函数，点
、
在它的图像上，
为其反函数，则不等式
＜1的解集是
（A）
；
（B）
； （C）
；
（D）
。
[ ]2定义在R上的函数满足
，当
时，
，则当
时，的最小值是（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。
[ ]3设曲线
在
处的切线方程为
，则
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。
[ ]4已知数列
、
、
、……、
、……，它的前n项积大于
，则正整数n的最小值为
（A）8； （B）10； （C）11； （D）12。
[ ]5集合
，
，若
只有一个子集，则实数k的取值范围为
（A）
； （B）
； （C）
； （D）
。
[ ]6有4位学生参加某种竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两题中任选一题作答，选甲答对得100分，答错得
分；选乙答对得90分，答错得
分。若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是
（A）48； （B）36； （C）24； （D）18。
[ ]7某班有48名学生，某次数学测验，算术平均分为70分，标准差为
，后发现成绩记录有误，某甲得80分却记为50分，某乙得70分却记为100分，更正后计算得标准差为
，则与之间大小关系是
（A）＞； （B）
；
（C）＞
； （D）＜。
[ ]8四棱锥
中，
，
，底面
为梯形，
，
，满足上述条件的四棱锥的顶点
的轨迹是
（A）圆； （B）不完整的圆； （C）抛物线； （D）抛物线的一部分。
[ ]9已知实数
且
，则
的取值范围为
（A）
； （B）
； （C）
；
（D）
。
[ ]10 若
，则
的最小值为
（A）
； （B）
； （C）
； （D）
。
二、填空题：
11已知曲线
，则过点
的切线方程为
；已知曲线
，则过点的切线方程为。
12若
，则
的最小值等于
。
13设
，若的图像向左平移至少
个长度单位后得到的图像恰为奇函数的图像，而向右平移至少
个长度单位后得到的图像恰为偶函数的图像，则的最小正周期为。
14将一个侧棱互不相等的四棱锥
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供，那么不同的染色方法种数为。
15给出命题：①圆
关于点
对称的圆方程为
；②双曲线
右支上一点P到左准线距离为18，则该点到右焦点距离为
；③顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过
的抛物线方程只能是
；④、
是椭圆
上两个动点，
为坐标原点，直线
、
的斜率之积为
，则
等于定值20。把你认为正确的命题序号填写在横线上。
16已知椭圆的离心率为
，
、
是两个焦点，是椭圆上任意一点，则
的最大值为
。
三、解答题：
17 甲、乙两公司生产同一种产品，经测算，对于函数、
及任意的
，当甲公司投入
万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败风险。
（Ⅰ）试解释
、
的实际意义；（Ⅱ）当
，
时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用。问此时甲、乙两公司各应投入多少宣传费？
18 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，
平面，垂足为
，在边
上，且
，
，
，
是边
的中点，四面体
的体积是
。
P
（Ⅰ）求异面直线
与
所成的角；
（Ⅱ）求点
到平面
的距离；
A
G
D
（Ⅲ）若点
是棱上一点且
，
求
的值。
B E C
19已知数列
与
满足关系：
，
，
（a＞0）。
（Ⅰ）求数列的通项公式并证明：
；（Ⅱ）设
是数列的前n项的和，当
时与
是否有确定的大小关系？若有则加以证明；若没有则说明理由。
20从原点出发的某质点M，按照向量
移动的概率为
，按照向量
移动的概率为
，设M可到达点
的概率为
。
（Ⅰ）求
、
； （Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）求的表达式。
21已知点
在椭圆
（a＞b＞0）的第一象限上运动。
（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程；（Ⅱ）若把轨迹的方程表达式记为：
，且在区间
内有最大值，试求椭圆
的离心率的取值范围。
苏州中学06届高三数学冲刺训练（五）参考答案
1B2A3D4C5B6B7D8B9A10C
11、
；及
；12、
；13、2π；14、420；
15、②④ ；16、
。
解17①：表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险至少要投入11万元的宣传费；表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险至少要投入21万元的宣传费。
②设甲、乙公司投入的宣传费分别为x、y万元，当且仅当
……①，
……②时双方均无失败的风险，由①②得
易解得
，所以
，故
。
解18：
解19：①∵
＞0，∴
，又
，∴
，所以
，
，
∴
。
②当时
（当且仅当
时取等号）
∴
，
＜
……，
＜
，
∴
＜
，∵，
，
∴
＜
，
∴＜
＜
＜。
解20：①点M到达点
的概率
。
点M到达点
的事件由两个互斥的事件组成：点M先按向量移动到达点（0，1），再按向量平移动到达点（0，2），此时概率为
；点M按向量移动直接到达点（0，2），此时概率为。故所求概率
；
②点M到达点
的事件由两个互斥的事件组成：从点
按向量移动，此时概率为
；从点（0，n）按向量移动，此时概率为
。于是
即；
③由②可知数列
是以
为首项，为公比的等比数列，即
故
。
解21：①椭圆（a＞b＞0）的参数方程为 
（θ为参数）
又设点
是轨迹上任意一点，则 
（θ为参数）
消去参数θ得
，故轨迹的方程
。
②把方程表达为函数解析式为：
，可证函数在
上为增函数，在
上为减函数，因此函数在
上有最大值且在
处取得最大值，要使函数在内取到最大值，则只要
＜
即
＜，从而
＜
＜1。