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高三数学高考冲刺阶段模拟题(一)

2014-5-11 0:13:22下载本试卷

高三数学高考冲刺阶段模拟题(一)   

      

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合U = {1,2,3,4,5,6,7},A = {3,4,5},B = {1,3,6},则A∩(UB)等于( A )

A.{4,5}     B.{2,4,5,7}    C.{1,6}    D.{3}

2.函数f (x ) =的定义域是( D )

A.{x x≥-1}   B.{x x≥1}   C.{x x>-1}   D.{x x>1}

3.若指数函数y = ax的反函数的图象经过点 (2,-1),则a等于( A  )

A.       B.2       C.3        D.10

4.在正项等比数列{an}中,a1a99是方程x2-10x + 16 = 0的两个根,则a40·a50·a60的值为(  B  )

A.32       B.64      C.±64      D.256

5.若把一个函数的图象按= (-,-2)平移后得到函数y = cosx的图象,则原图象的函数解析式是( D )

A.y = cos (x +)-2         B.y = cos (x)-2

C.y = cos (x +) + 2         D.y = cos (x) + 2

6.如图,四面体P-DEF中,M是棱EF的中点,PD、PE、PF两两垂直,必有( C )

A.DM⊥平面PEF

B.PM⊥平面DEF

C.平面PDE⊥平面PEF

D.平面PDE⊥平面DEF

7.若二项式 (x)n的展开式的第5项是常数项,则正整数n的值为( B )

A.7      B.8     C.9      D.10

8.4本不同的书全部分给3个同学,每人至少一本,则不同的分法有( C )

A.12种       B.24种       C.36种       D.48种

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上.

9.某学校有初中生1080人,高中生900人,教师120人,现对该学校的师生进行样本容量为n的分层抽样,已知抽取的高中生为60人,则样本容量n     .(140)

10.已知平面向量= (0,1),= (xy),若,则实数y =      .(0)

11.函数f (x ) = A sinx +)(A>0,ω>0,的部分图象如图所示,则f (x )的解析式为       .(f (x ) = 2sinx

12.在等差数列{an}中,已知a11 = 10,那么它的前21项的和S21 =      .(210)

13.已知mn是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:① α⊥β,α∩β= mmn,则n⊥α或n⊥β;② 若α∥β,α∩γ= m,β∩γ= n,则mn;③ 如果直线m与平面β内的一条直线平行,那么m∥β;④ 若α∩β= mnm,且nα,nβ,则n∥α且n∥β. 所有正确命题的序号是       .(②④)

14.在密码学中,你直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码,有一种密码,将英文的26个字母abc,…,z(不论大小写)依次对应1,2,3,…,26,这26个自然数,见表格:

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

现给出一个变换公式:=,可将英文的明文(明码)转换成密码,按上述规定,若将某英文明文译成的密码是shxc,那么原来的明文是      .(love)

三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分12分)t x

已知cos2θ=,θ∈(,π).

(I)求sinθ的值;

(II)求sin (θ+)-sin2θ的值.

:(I)∵ cos2θ=,∴ 1-2sin2θ=

sin2θ=.

∵θ∈(,π),∴ sinθ=.

(II)∵ sinθ=且θ∈(,π),

cosθ=,∴ sin2θ= 2sinθcosθ= 2××() =.

sin (θ+)-sin2θ= sinθ·cos+ cosθ·sinsin

                  =×+ (-()

                  =.

16.(本小题满分14分)

已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD且PA = 1,M、N分别为AD、BC的中点,MQ⊥PD于Q.

(I)求证:AB∥平面MNQ;

(II)求证:平面PMN⊥平面PAD;

(III)求二面角P-MN-Q的余弦值.

:(I)证明:∵ ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点,

∴ AB∥MN.

又∵ MN平面MNQ,AB平面MNQ,

∴ AB∥平面MNQ.

(II)证明:∵ ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点,

∴ MN⊥AD.

∵ PA⊥平面ABCD,MN平面ABCD,∴ MN⊥AP. 又∵ AD∩AP = A,

∴ MN⊥平面PAD,又∵ MN平面PMN,∴ 平面PMN⊥平面PAD.

(III)由(II)有MN⊥平面PAD,PM平面PAD,MQ平面PAD,

∴ MN⊥PM,MN⊥MQ,

∴ ∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角.

∵ PA = AD = 1,∴ ∠PDA =.

在Rt△MQD中,MQ =MD =,在Rt△PAM中,PM ==.

在Rt△PMQ中,cos∠PMQ ===.

∴ 二面角P-MN-Q的余弦值为.

17.(本小题满分13分)

在甲、乙两个队的乒乓球比赛中,乒乓球的规则是“五局三胜制”,现有甲、乙两队每局获胜的概率分别为.

(I)前两局乙队以2:0领先,求最后甲、乙两队各自获胜的概率;

(II)乙队以3:2获胜的概率.

:(I)在乙队以2:0领先的前提下,若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜,所以甲队获胜的概率为P1 = ()3 =.

(方法1)在乙队以2:0领先的前提下,若乙队获胜则乙队可能以3:0;3:1;3:2的比分赢得比赛,所以乙队获胜的概率为:

        P2 =+×+ ()2×=.

(方法2)“甲队获胜”与“乙队获胜”为对立事件,所以乙队获胜的概率为:

        P2 = 1-=.

(II)若乙队以3:2获胜,则第五局为乙队取胜,前四局乙队输两局赢两局,所以乙队以3:2获胜的概率为:

        P3 =·()2·()2·=.

18.(本小题满分13分)

已知函数f (x ) = x2 (ax + b )(abR)在x = 2时有极值,其图象在点 (1,f (1 ))处的切线与直线3x + y = 0平行.

(I)求ab的值;

(II)求函数f (x )的单调区间.

:(I)∵f (x ) = x2 (ax + b ) = ax3 + bx2

(x ) = 3ax2 + 2bx,∵ 函数f (x )在x = 2时有极值,

(2 ) = 0,即 12a + 4b = 0,               ①

∵ 函数f (x )的图象在点(1,f (1 ))处的切线与直线3x + y = 0平行.

(1 ) =-3,即3a + 2b =-3,               ②

由①②解得,a = 1,b =-3.

(II)(x ) = 3x2-6x = 3x (x-2),令3x (x-2)>0,

解得:x<0或x>2,

令3x (x-2)<0,解得:0<x<2.

∴ 函数f (x )的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间为(0,2).

19.(本小题满分14分)

设数列{an}满足a1 = 2,an +1 = 3an-2,n = 1,2,3,….

(I)求证:数列{an-1}是等比数列;

(II)求{an}的通项公式;

(III)求{an}的前n项和Sn.

:(I)证明:∵ an +1 = 3an-2,且a1 = 2,

an +1-1 = 3 (an-1),且an≠1,

= 3,∴数列{an-1}是等比数列.

(II)∵数列{an-1}是等比数列,

an-1 = (a1-1)·qn-1 = (2-1)·3n-1 = 3n-1

an = 3n-1 + 1.

∴ {an}的通项公式an = 3n-1 + 1.

(III)Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

        = (30 + 1) + (3 + 1) + (32 + 1) + … + (3n-1 + 1)

        = (30 + 3 + 32 + … + 3n-1 ) + n

        =+ n =×3n + n.

20.(本小题满分14分)

已知函数f (x) = x xaaR).

(I)判断f (x )的奇偶性;

(II)解关于x的不等式:f (x )≥2a2

(III)写出f (x )的单调区间.

:(I)函数f (x )的定义域是R,当a = 0时,f (-x ) =-xx =-x x =-f (x ),

f (x )是奇函数.

a≠0时,∵ f (a ) = 0,f (-a ) = -2a a

f (-a )≠f (a )且f (-a )≠-f (a ),

f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.

(II)∵ x xa ≥2a2

∴ 原不等式等价于  ① 或   ②

由①得,无解;

由②得,即

⑴ 当a = 0时,x≥0;

⑵ 当a>0时,由,得x≥2a.

⑶当a<0时,由,得x≥-a.

综上,当a≥0时,f (x )≥2a2的解集为{x x≥2a};当a<0时,f (x )≥2a2的解集为{x x≥-a}.

(III)f (x) = x xa =.

a = 0时,如图1,函数f (x )在R上为单调递增函数,(-∞,+∞)为单调递增区间;

a>0时,如图2,函数f (x )的单调递增区间为[a,+∞-∞,],单调递减区间为[a];

a<0时,如图3,函数f (x )的单调递增区间为[,+∞-∞,a],单调递减区间为[a].