2006年高考理科数学摸拟试题解析样本2
一. 选择题：( 本大题共12小题，每小题5分，共60分 )
1.已知集合P={(x，y)x+y=1}，Q={(x，y)x2+y2≤1}，则 （A）
A.P
Q
B.P=Q
C.P
Q
D.P∩Q=Q
答： 集合P表示正方形，集合Q表示圆面.
2. 
的近似值（精确到小数后第三位）为
（A）
A. 726.089 B. 724.089 C. 726.098 D. 726.908
答：
3. 在
中. 若 
，则 
（C）
A. 
B. 
C. 
D. 
答：
4. 设
为平面上以 
为顶点的三角形区域( 包括边界 ),则
的最大值和最小值分别为
（A）
A. 14 , -18 B. -14 , -18 C. 18 , 14 D. 18 , -14
答：画出示意图，易知：当动直线过
时，
取最大值；当动直线过
时，取最小值.
5. 给定集合
，定义 
.若 
，则集合 
中的所有元素之和为
（A）
A. 15 B. 14 C. 27 D. -14
答A※B={3，2，1，4，5}，元素和为15．
6． 已知函数
在
上是减函数，则实数a的取值范围为（D）
A. （5，+∞） B. （3，+∞） C. （-∞，3） D. 
答 定义域为
．而函数
在
时为增函数，故
的单调减区间为
，从而 
．
7． 设函数
，若
，则下列不等式必定成立的是（B）
A． 
B． 
C． 
D． 
答 易知
，且当x∈
时，
为增函数．又由，得
，故 
，于是．
8． 已知等比数列
的首项为8，
是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为
（C）
A． S1 B． S2 C． S3 D． S4
答 显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，故S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29=a1q3，
，显然S3=36≠8(1+q+q2)，矛盾．只可能是S3算错了，此时由a2=12得
，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．
9． 函数
的图象如图所示，则导函数
的图象大致是（D）
答 由
的图象及
的意义知，在x＞0时，为单调递增函数且
＜0；在x＜0时，为单调递减函数且＜0．
10. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点
、
是它的焦点，长轴长为
，焦距为
，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是
（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案均有可能
答⑴静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选B；
⑵静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选C；
⑶静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选A。
于是三种情况均有可能，故选D。
11. 用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一数列，则1230是这个数列的 （ ）
A．第30项 B．第32项 C．第33项 D．第34项
答：用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数,可分为4类：
⑴一位数，有4个（0也是自然数）；⑵两位数，有
个；
⑶三位数，有
个； ⑷四位数，比1230小的有1023，1032。
于是，1230是这个数列的第34项。 选D．
12．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且满足
，
，
，则
的最大值为（
为三角形的面积） （C）
A．8 B．16 C．32 D．64
答 易知AB，AC，AD两两互相垂直，进而AB2+AC2+AD2=(2r)2=64．
S△ABC+S△ACD+S△ADB=
≤
=
．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13．已知双曲线
(a＞0，b＞0)的半焦距为c，若b2-4ac＜0，则它的离心率的取值的范围是___________.
答.(1,2+
) 化b2-4ac＜0＜为c2-a2-4ac＜0，从而变为
＜，解关于
的一元二次不等式，注意＞1.
14．对2×2数表定义平方运算如下：
． 则
．答 
．
15．为等差数列的前n项和，若
，则
=
．
答 由，即 
，得
．
，
．故=4．
16．若
，且
，则
的值是 11 ．
答 由
≥10，得 lg()≥lg10=1，即(lgx)2+(lgy)2≥1= (lgx+lgy)2，于是2lgxlgy≤0，从而lgx与lgy中必有一个为0，即x与y中必有一个为1，因而另一个为10．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．）
17．（本小题满分12分）已知 
，
．
（1）求
的值； （2）求
的值．
解 （1）将已知两式平方相加得
，故
．………7分
（2）∵
，∴
． ∴
．……12分
18．（本小题满分12分）
对某种赌博游戏调查后，发现其规则如下：摊主在口袋中装入8枚黑和8枚白的围棋子，参加者从中随意一次摸出5枚，摸一次交手续费1元，而中彩情况如下：
| 摸子情况 | 5枚白 | 4枚白 | 3枚白 | 其它 |
| 彩金 | 20元 | 2元 | 纪念品价值5角 | 无奖同乐一次 |
现在我们试计算如下问题：
（1）求一次获得20元彩金的概率；（结果用最简分数表示）
（2）分别求一次获2元和纪念奖的概率；（结果用最简分数表示）
（3）如果有1000次摸奖，摊主赔钱还是挣钱？是多少元？（精确到元）
解：（1）一次摸奖中20元彩金的概率
，可见可能性很小……4分
（2）一次中2元彩金的概率 
；……6分
而中纪念奖概率
……8分
（3）摊主赔钱还是挣钱由其支付完奖金余额决定，1000次收手续费1000元
预计支付20元奖需
元；
支付2元奖需
元；
支付纪念奖需
则余额 
元
答：摊主应挣钱308元。 …………12分
（3）另解：摸奖一次得到奖金ξ元，则随机变量ξ的分布列为：
所以
，
所以摊主挣钱，钱数为
元。
19．（本小题满分12分）
． 如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，
，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面
底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E.
（I）求证：
；
（II）求二面角
的大小；
（III）求证：平面
平面PAB.、
17．方法一：（I）证明：
又
平面
平面ABCD
平面
平面ABCD＝BC，
平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中，可得
，即
在平面ABCD内的射影为AO，
…4分
（II）解：
，且平面平面ABCD
平面PBC 
平面PBC，
为二面角P—DC—B的平面角 ……6分
是等边三角形
即二面角P—DC—B的大小为
…8分
（III）证明：取PB的中点N，连结CN
①
，且平面平面ABCD
平面PBC ……10分
平面PAB 
平面平面PAB ②
由①、②知
平面PAB…………..10分
连结DM、MN，则由MN//AB//CD
，得四边形MNCD为平行四边形
平面PAB
平面PAD 平面
平面PAB ……………….12分
方法二：
取BC的中点O，因为
是等边三角形，
由侧面底面ABCD 得
底面ABCD ……1分
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz……2分
（I）证明：
，则在直角梯形中，
在等边三角形PBC中，
……3分
……4分
，即
……6分
（II）解：取PC中点N，则
平面PDC，显然
，且
平面ABCD
所夹角等于所求二面角的平面角 ……8分
二面角
的大小为 ……10分
（III）证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为
又
……12分
即
平面PAB，平面平面PAB ……14分
20．（本小题满分12分）
是以
为焦点的双曲线C：
（a＞0，b＞0）上的一点，已知
，
．
（1）试求双曲线的离心率
；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当
，
= 0，求双曲线的方程．
解 （1）∵
，
， ∴
，
．
∵
=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴
．………………………………4分
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为
，渐近线方程为
．…5分
设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．
∵
，∴
． ∵
，∴
………8分
∵点P在双曲线上，∴
．
化简得，
．∴
．∴ 
． ∴双曲线的方程为
．……12分
21．（本小题满分12分）等比数列的首项为
，公比
．
（1）设
表示该数列的前n项的积，求的表达式；
（2）当n取何值时，有最大值．
解 （1）
，
．………………………………4分
（2）∵
，
∴当n≤10时，＞1，∴ f(11) ＞ f(10) ＞…＞ f(1) ；6分
当n≥11时，
＜1，∴ f(11) ＞ f(12) ＞…．………………8分
∵
，∴
的最大值为
或
中的最大者．10分
∵
，
∴ 当n=12时，有最大值为
．………………………12分
22．（本小题满分14分）
设是定义在[-1，1]上的偶函数，
的图象与的图象关于直线
对称，且当x∈[ 2，3 ] 时，
222233．
（1）求的解析式；
（2）若在
上为增函数，求
的取值范围；
（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线
上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x3，
∴
…………………………………………………4分
（2）由题设知，
＞0对x∈恒成立，即2a-12x2＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x2，从而a＞(6x2)max=6．…………………………………………………8分
（3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值．
令=2a-12x2=0，得
．…………10分 若
∈
，即0＜a≤6，则
，
故此时不存在符合题意的；
若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是
．
令2a-4=12，故a=8． 综上，存在a = 8满足题设．……………………………14分