兰山区高考补习学校05-06学年下学期函数与导数测试题
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）
1．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，若B＝{1，2}，则A∩B为( )
A．φ B．{1} C．φ或{2} D．φ或{1}
2．在△ABC中，条件甲：A＜B，甲 乙：cos2A＞cos2B，则甲是乙的( )
A．仅充分条件 B．仅必要条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
3．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)在区间(－∞，]上为减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(1，2) D．(0，1)∪(1，2)
4．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(－,0)对称，且满足f(x)＝－f(x＋)，
f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2005)的值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,0,1}，满足条件f(3)＝f(1)＋f(2)的映射f：A→B的个数是( )
A．7 B．6 C．4 D．2
6．已知函数f(x)，g(x)，(x∈R)，设不等式f(x)＋g(x)＜a(a＞0)的解集为M，不等式f(x)＋g(x)＜a(a＞0)的解集为N，则( )
A．N EMBED \* MERGEFORMAT ≠M B．M＝N C．M EMBED \* MERGEFORMAT ≠N D．M EMBED \* MERGEFORMAT －N
7．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则有( )
A．b＜0
B．0＜b＜1
C．1＜b＜2
D．b＞2
8．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好
点”。在下面五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，
）中，“好
点”的个数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9. 已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：
①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y轴对称.
②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.
③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图象关于直线
对称.
④若f(x-2)=f(2-x)，则y=f(x)关于直线x=2对称.
⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图象关于x=2对称.
其中正确的命题序号是( )
A、①②④ B、①③④ C、②③⑤ D、②③④
10. 设
、
分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当
, 且
，则不等式
的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，
则x＋x等于( )
A． B．
C． D．
12．定义：对函数
，
。若存在常数C，对于任意
，存在唯一的
，使得
。则称函数在D上的“均值”为C。已知：
。则函数
，在
上的均值为（ ）
二.填空题(每小题4分,共16分)
13.对任意实数
，定义
为不大于的最大整数（例如
等），设函数
，给出下列四个结论：①
②
③
是周期函数④是偶函数。其中正确结论的是
14．定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{1,3,5,7,9}的“孙集”的个数有＿＿＿＿＿个．
15.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2、值域为{1,4}的“同族函数”共有______个.
16.设函数f(x)=xx+bx+c,给出下列命题：
①b=0, c>0 时，方程f(x)=0只有一个实数根；②c=0时，y=f(x)是奇函数；
③方程f(x)=0至多有两个实根.
上述四个命题中所有的正确命题的序号为 .
兰山区高考补习学校05-06学年下学期函数与导数测试题
一.选择题： 1-5 6-10 11-12
二.填空题 13 14 15 16
三.解答题
17、已知函数
的图像过点
，且
对任意实数都成立，函数
与
的图像关于原点对称。
⑴ 求
与
的解析式；
⑵ 若
—
在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围；
18.设函数
(1)求函数的单调区间;(2)当
时，不等式
恒成立,求实数m的取值范围;(3)关于x的方程
上恰有两个相异实根，求a的取值范围.
19．设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y，总有f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1．
(1)求f(0)的值；(2)证明：当x＜0时，f(x)＞1；
(3)证明：f(x)在R上单调递减；(4)若M＝{yf(y)·f(1－a)≥f(1)}，N＝{yf(ax2＋x＋1－y)＝1，x∈R}，且M∩N≠φ，求a的取值范围．
20．（本小题满分12分
已知二次函数
设方程f(x)＝x有两个实数根x1、x2.
(Ⅰ)如果
，设函数f(x)的对称轴为x＝x0,求证x0>—1;
(Ⅱ)如果
，且f(x)＝x的两实根相差为2，求实数b
的取值范围.
21．（本题满分12分）
已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，
且满足x、y∈（－1，1） 有
．
（Ⅰ）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数；
（Ⅱ）对数列
求
；
（Ⅲ）（理）求证
22.定义函数
，
，
，其导函数记为
。
（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）设
，求证：
；
（Ⅲ）是否存在区间
，使函数
在区间
上的值
域为
？若存在，求出最小的
值及相应的区间；若不存在，请说明理由。
DCCDA DADCD CA ②③④ 26 9 ①②
17．解：⑴由题意知：
，
设函数
图象上的任意一点
关于原点的对称点为P（x,y）,则
，因为点
⑵
连续，
即
，由
上为减函数，当
时取最小值0，故
另解：
，
，解得
18. (1)函数定义域为
,
由
得
由
得
则递增区间是
递减区间是
(2)由
得
.
由（1）知, 在
上递减,在
上递增.又
.
时, 
故
时,不等式
恒成立.
(3)方程
即
.记
,
.由
得
由
得
在
上递减,
在
上递增. 为使
在
上恰好有两个相异的实根,只须
在
和
上各有一个实根,于是{
解得
19．解：(1)显然，f(x)不恒等于0，令x＝1，y＝0时，得f(0)＝1；
(2)令y＝－x≥0则1＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，即f(－x)＝．
由题0＜f(－x)＜1 ∴f(x)＞1；
(3)设x1＜x2，则x2－x1＞0，由题得(2)知f(x)＞0．
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)
＝f(x1)[f(x2－x1)－1]＜0 ∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)在R上单调递减；
(4)由已知及(3)得：M＝{yy≤a}，N＝{yy＝ax2＋x＋1，x∈R}
显然，当a≤0时，M∩N≠φ
当a＞0时，N＝{yy＝a(x＋)2＋1－，x∈R}
要使M∩N≠φ，必须1－≤a．
即4a2－4a＋1≥0
a∈R
故所求的a的取值范围是a∈R．
20．(Ⅰ)设
∴由条件
……（2分）即
（4分）
∴
……（5分）对
……（8分）
（Ⅱ）由
……（11分）
由
代入有
……（14分）
21．证：（I）令
则
令
则
为奇函数 （4分）
（II）
， 
是以－1为首项，2为公比的等比数列．
（III）（理）
而
22.【略解】（Ⅰ）证明：令
，则由
得
，且
是
的唯一极小值点，故
，
因此，有；（Ⅱ）
：显然
，且
，而
，故；
（Ⅲ）
。
令
，
，且当
时，
；当
时，
；当
时，，故函数
的图像如右上图所示：
下面考察直线
（
）与函数的图像的相交问题：当直线在围绕原点旋转时，可以看到：当直线经过
时，取得最小值
，且此时区间
。