湛江市2006年高考模拟题
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页。满分为150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷 选择题(共50分)
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式
P(A+B)= P(A)+ P(B) S = 4πR2
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
P(A·B)= P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率 其中R表示球的半径
1.已知,则的值为
(A) (B) (C) (D)
2.已知三角形的内角分别是A、B、C,若命题,命题,则P是Q的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C )充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3. ,下列命题中正确的是:
(A) 若, 则 (B) 若 , 则
(C) 若 ,则 (D) 若 , 则
4.两条异面直线a和b上分别有5和4个点,从中任选4点作为顶点组成一个四面体的,这样的四面体的个数为( )。
(A) (B) (C) (D)
5.已知ABCDEF是正六边形,且=,=,则=( )
(A) (B) (C)+ (D)
6.三棱锥中,两两垂直,且,,则此三棱锥的体积
(A) 有最大值3,无最小值; (B) 有最小值3,无最大值;
(C) 有最大值9,无最小值; (D) 无最大值,也无最小值;
7..
是曲线上任意一点,则的最大值是
(A)36
(B)、6
(C)、26
(D)、25
8. α、β为两个确定的相交平面, a、b为一对异面直线,下列条件::① a∥α, bβ; ② a⊥α,
b∥β; ③ a⊥α, , b⊥β; ④ a∥α, b∥β且a与α的距离等于b与β的距离. 其中能使a、b
所成的角为定值的有
(A). 0个 (B). 1个 (C). 2个 (D). 3个
9.设, 且 则点在平面上的区域的面积是
(A) (B)1 (C)2 (D)
10、若函数的反函数为,则函数与函数的图象A.关于直线对称 B.关于直线对称
C.关于直线对称 D.关于直线对称
二、填空题:(每小题5分,共20分。第11题3+2分。)
11、将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球,则这个球的体积为 ,
球的表面积为 (不计损耗).
12、如果正△中,,向量,那么以,为焦点且过点,的双曲线的离心率是 .
13、已知为实数,展开式中的系数为,则 .
14、14.函数的值域为______________。
三、解答题:
15、(本题满分12分)平面直角坐标系中有点,,且.
(Ⅰ)求向量与的夹角的余弦值用表示的函数;
(Ⅱ)求的最值。
16、(本小题满分12分)
已知数列的前n项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和.
17.(本题满分13分) 甲、乙两个同学解数学题,他们答对的概率分别是0.5与0.8,如果每人都解两道题,
(Ⅰ)求甲两题都解对且乙至少解对一题的概率;
(Ⅱ)若解对一题得10分,未解对得0分、求甲、乙得分相等的概率.
18、(本小题满分14分)在三棱锥P-ABC中,,,PA = PB = PC,点P到平面ABC的距离为 AC.
(1) 求二面角P-AC-B的大小;
(2) 若,求点B到平面PAC的距离.
19(本题满分14分)如图所示,过定点作一直线交抛物线C:于P、Q两点,又Q关于x轴对称点为Q1,连结PQ1交x轴于B点.
(Ⅰ)求证:直线PQ1恒过一定点;
(Ⅱ)若.
20. (本小题满分14分)
由原点O向三次曲线y=x3-3ax2+b x (a≠0)引切线,切于不同于点O的点P1(x1,y1),再由P1引此曲线的切线,切于不同于P1的点P2(x2,y2),如此继续地作下去,……,得到点列{ P n(x n , y n)},试回答下列问题:
(Ⅰ)求x1;
(Ⅱ)求x n与x n+1的关系;
(Ⅲ)若a>0,求证:当n为正偶数时, x n<a;当n为正奇数时, x n>a.
答案及评分意见
一、选择题:
1、D 2、C 3、B 4、C 5、B 6、A 7、A 8、B
9、B 10、B
二、填空题:
11、 12、 13、 14、、
三、解答题:
15、解:(Ⅰ)
x∈[] . 6分
(Ⅱ) 10分
即
又, 12分
16.(Ⅰ)当时,
故,即数列的通项公式为
……………………… …6分
(Ⅱ)当时,当
故
由此可知,数列的前n项和为
………………… …13分
17、解(Ⅰ) ……6分
(Ⅱ)两人都得零分的概率为
两人都得10分的概率为
两人都得20分的概率为
∴ 13分
17、解:(1) 法一:由条件知△ABC为直角三角形,且∠BAC = 90°,
∵ PA = PB = PC,
∴ 点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心,
即斜边BC的中点E. 2分
取AC中点D,连PD, DE, PE.
∵ PE⊥平面ABC,DE⊥AC (∵ DE∥AB),
∵ AC⊥PD. 4分
∴ ∠PDE为二面角P-AC-B的平面角. 5分
又PE = AC ,DE = AC ,()
∴ tan ∠PDE = =,
∴ ∠PDE = 60°.
故二面角P-AC-B的大小为60°. 8分
法二:由条件知△ABC为直角三角形,且∠BAC = 90°,
∵ PA = PB = PC,
∴ 点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心,即斜边BC的中点.
设O为BC中点,则可证明PO⊥平面ABC. 2分
建立如图直角坐标系,设则
A( a, a, 0), B(-a, 0, 0), C(a, 0, 0), D(0, 0, a).
= (-a, a, 0), = ( -a, a, a). 4分
取AC中点D,连PD, DO, PO.
∵ AB⊥AC,
又PA = PCÞ PD⊥AC.
∴ cos < , > 即为二面角P-AC-B的余弦值. 6分
而 cos < , > = = .
∴ 二面角P-AC-B的大小为 60°. 8分
(2) 法一:设,则PD = = = a.
S△APC = AC·PD = a 2. 10分
设点B到平面PAC的距离为h,则由VP-ABC = VB-APC 得
S△ABC·PE = S△ABC·h Þ h = = = a.
故点B到平面PAC的距离为 a. 14分
法二:点E到平面PAC的距离容易求得为 a,而点B到平面PAC的距离是其两倍.
∴ 点B到平面PAC的距离为 a. 14分
19. 解:(Ⅰ)设,而Q1与Q关于x轴对称,则 2分
PQ直线方程为:
则PQ:
又PQ过点(m,0),则
因此PQ1直线方程可改写为:
因此可知PQ1直线恒过点… …………………(8分)
(Ⅱ)连结AQ1,因为Q与Q1关于x轴对称,A在x轴上
所以在△APQ1中,AB平分∠PAQ1. 由内角平分线定理可知:
而
于是
而又B,P,Q1三点共线,、同向,… ……(14分)
20.(1)由y=x3-3ax2+b x, ①
得y′=3x2-6ax+b.
过曲线①上点P1(x1, y1)的切线l1的方程是
由它过原点,有
4分
(2)过曲线①上点Pn+1(xn+1,yn+1)的切线ln+1的方程是
由ln+1过曲线①上点P n(x n, yn),有
∵x n-xn+1≠0,以x n-xn+1除上式,得
以x n-xn+1除之,得x n+2xn+1-3a=0. 9分
(3)解法1 由(2)得
故数列{x n-a}是以x 1-a=为首项,公比为-的等比数列,
∵a>0,∴当n为正偶数时,
当n为正奇数时, 14分
解法2 =
=====.以下同解法1.
备用题:
已知函数,则实数a值是( )
A.1 B. C. D.-1
如图所示,过定点作一直线交抛物线C:于P、Q两点,又Q关于x轴对称点为Q1,连结PQ1交x轴于B点.
|
(2)若.
解:(1)设,而Q1与Q关于x轴对称,则PQ直线方
程为:
则PQ:
又PQ过点(m,0),则
因此PQ1直线方程可改写为:
因此可知PQ1直线恒过点……………………(8分)
(2)连结AQ1,因为Q与Q1关于x轴对称,A在x轴上
所以在△APQ1中,AB平分∠PAQ1. 由内角平分线定理可知:
而
于是
而又B,P,Q1三点共线,、同向,………(14分)