2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学(人教版)(理工农林医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至1页,第Ⅱ卷3至10页。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔在答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
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一、选择题
1.设集合,,则集合中元素的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数的最小正周期是 ( )
A. B. C. D.
3.设数列是等差数列,且,是数列的前项和,则 ( )
A. B. C. D.
4.圆在点处的切线方程为 ( )
A. B.
C. D.
5.函数的定义域为 ( )
A. B.
C. D.
6.设复数的辐角的主值为,虚部为,则= ( )
A. B. C. D.
7.设双曲线的焦点在轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
8.不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
9.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.
10.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为 ( )
A. B. C. D.
11.设函数 ,则使得的自变量的取值范围为( )
A. B.
C. D.
12.将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名,则不同的分配方案共有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
第Ⅱ卷
二、填空题(每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
13.用平面截半径为的球,如果球心到平面的距离为,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .
14.函数在区间上的最小值为 .
15.已知函数是奇函数,当时,,设的反函数是,则 .
16.设是曲线上的一个动点,则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为 .
三、解答题(6道题,共76分)
17.(本小题满分12分)已知为锐角,且,求的值.
18.(本小题满分12分)解方程 .
19.(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道,沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?
20.(本小题满分12分)三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,
(1)求证:AB ⊥ BC;
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21.(本小题满分12分)设椭圆的两个焦点是与,且椭圆上存在一点,使得直线与垂直.
(1)求实数的取值范围;
(2)设是相应于焦点的准线,直线与相交于点,若,求直线的方程.
22.(本小题满分14分)已知数列的前项和满足.
(1)写出数列的前三项;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:对任意的整数,有 .
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数学参考答案(人教版)(理)
1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B 11.A 12.C
13. 14.1 15.-2 16.
17.本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分.
解:原式 因为
所以 . 因为为锐角,由
所以 原式
18.本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算.满分12分.
解:当时,原方程化为
解得 无解.
由舍去.
当 时,原方程化为
解得 无解.
19.本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题,应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.满分12分.
解:设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,则 ab=800.
蔬菜的种植面积
所以
当
答:当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为648m2.
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(Ⅰ)证明:如图1,取AC中点D,连结PD、BD.
因为PA=PC,所以PD⊥AC,又已知面PAC⊥面ABC,
所以PD⊥面ABC,D为垂足.
因为PA=PB=PC,所以DA=DB=DC,
可知AC为△ABC的外接圆直径,因此AB⊥BC.
(Ⅱ)解:如图2,作CF⊥PB于F,连结AF、DF.
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因此,PB⊥平面AFC,
所以面AFC⊥面PBC,交线是CF,
因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF,
∠ACF为AC与平面PBC所成的角.
在Rt△ABC中,AB=BC=2,所以BD=
在Rt△PDC中,DC=
在Rt△PDB中,
在Rt△FDC中, 所以∠ACF=30°.
即AC与平面PBC所成角为30°.
21.本小题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.满分12分.
解:(Ⅰ)由题设有 设点P的坐标为由PF1⊥PF2,得
化简得 ①
将①与联立,解得
由 所以m的取值范围是.
(Ⅱ)准线L的方程为设点Q的坐标为,则
②
将 代入②,化简得
由题设 ,得 , 无解.
将 代入②,化简得
由题设 ,得 .
解得m=2. 从而,
得到PF2的方程
22.本小题主要考查数列的通项公式,等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解:由
由
由
(Ⅱ)解:当时,有
……
所以
经验证a1也满足上式,所以
(Ⅲ)证明:由通项公式得
当且n为奇数时,
当为偶数时,
当为奇数时,
所以对任意整数m>4,有