2004 届 高 三 数 学（理科）模 拟 试 题
命题人：城南中学 黄柏炯
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中，c表示底面周长、l表示斜高或
P（A·B）=P（A）·P（B） 母线长
如果事件A在1次实验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复实验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
第I卷（选择题，共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．函数 y=－x(x+2)(x≥0)的反函数定义域为 （ ）
A． 
B．
C． （0，1） D．
2．若
的取值范围是 （ ）
A．[2，6] B．[2，5] C．[3，6] D．[3，5]
3．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在的直线 （ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面
4．函数
（
，且
）是偶函数，且在
上单调递减，
则
与
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．复平面内点Z1、Z2对应复数分别为z1 z2 若z1-z2=z1+z2(z1z2
0)则向量
所成
的角为 ( )
A.0° B.60° C.90° D.120°
6.设曲线y＝和曲线y＝在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tanθ＝
（ ）
A.1 B. C. D.
7．设双曲线
的右准线与两渐近线交于A、B两点，点F为右焦点，
若以AB为直径的圆经过点F，则该双曲线的离心率为 （ ）
A．
B．2 C．
D．
8. 设函数
的图象关于直线
对称，它的周期是
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
9. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为 （ ）
A.0.5小时 B.1小时 C.1.5小时 D.2小时
10.弹子跳棋共有60颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有 （ ）
A．11颗 B．4颗 C．5颗 D．0颗
|
七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，
则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有 （ ）
A． 40320种 B． 5040种
C． 20160种 D． 2520种
|
P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形
状为 （ ）
 |
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
13．二项式
的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值
为
则x在
内的值为
．
|
（其中x是某位学生的考试分数，
是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数. 例如某次学业选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是：T=40Z+60. 已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为
.
15. 如图：电路中五个方框均为保险匣。框
内数字为通电时保险丝被烧断的概率，
假定通电后保险丝是否烧断是相互独立
的，则通电后不断路的概率为 .
16. 同住一间寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。
①A不在修指甲，也不在看书 ②B不在听音乐，也不在修指甲
③如果A不在听音乐，那么C不在修指甲④D既不在看书，也不在修指甲
⑤C不在看书，也不在听音乐
若上面的命题都是真命题，问她们各在做什么？
A在 ； B在 ；
C在 ； D在 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
.17. （本小题满分12分）若锐角
（1）
； （2）
| |
，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D，⑴求证：A1C⊥平面AEF；⑵求二面角A—EF—B的大小；⑶求点B1到平面AEF的距离。
19. （本小题满分12分） 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数
的数学期望和方差.
20、（本小题满分12分）从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t .
|
（Ⅱ）x为何值时，容积V有最大值.
21．（本小题满分12分）已知点F（1，0），直线
，点B是l上的动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M。 （1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设与x轴相交于H，直线BF与曲线C相交于P、Q两点，求证：向量
与向量
的夹角相等。
22．（本小题满分14分）已知
，
（1）设
的通项；
（2）求
；
（3）设
是否存在整数m，对一切n∈N*，都有
成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.
高 三 数 学（理科）模 拟 试 题 参 考 答 案
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | A | B | D | C | C | D | C | B | B | D | C |
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．
14、 84
15、 
16、 A在听音乐 ； B在看书； C在修指甲； D在梳头发
三．解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（本小题满分12分）
解：（1）
第（2）题另解：由
得到
，再由（1）
得
， 解得
，
∴
……（12分）
18．（本小题满分12分）
（1）．证明：在正四棱柱中，A1D是A1C在平面ADD1A1上的射影，∵ A1D⊥AF，∴A1C⊥AF，同理由A1B⊥AE可得A1C⊥AE，∴A1C⊥平面AEF；……（4分）
（2）．解：由AD=，AA=3，A1D⊥AF，A1B⊥AE，易求得BE=DF=1，连结BD、AC，设它们交于点O，取EF的中点M，连结AM、OM，∵AO⊥平面BEFD，OM⊥EF，∴∠AMO就是所求二面角的平面角…………（6分），在直角三角形AOM中，MO=1，
，∴
，∴
；…………（8分）
（3）．设B1到平面AEF的距离为h，在△AEF中，AM=
，EF=
，由
得h=
…………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2. ……（2分）
则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2
|
| 0 | 1 | 2 |
| P | 0.08 | 0.44 | 0.48 |
……………………………………（8分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知正方形的长为2a-2x,高为x，
（Ⅱ）
| x |
|
|
|
| V′ | + | 0 | － |
21．（本小题满分12分）
解（1）由已知易得MF=MB由抛物线定义得点M的轨迹方程为
（
≥0）……（4分）
（2）设直线
方程
设P
则
消去得
∴
而
∴
同理
∵向量所成角范围在[0，]上
∴结论成立。……（12分）
22．（本小题满分14分）
解：（1）
的值域y>0，解得
知
是等差数列（n∈N*）.
所以，
……（4分）
（2）
=
……（8分）
（3）
考虑
所以，
是递减数列，b1是最大的，
……（12分）由于
所以mmin=8…………（14分）
.