2006年高考数学（理科）模拟试题
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．参考公式：
一． 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．1+i+i
+…+i
的值为（ ）
A．0 B.-1 C.1 D.i
2．若函数f（x）=asin（
x+
）对任意的x都有
f（
）=f（
）,则f（
）=（ ）
A.a B-a C.0 D.-a或a
3．不等式
<3表示的区域包括(0,0)和（-1,-1）,则m的取值范围是
（ ）
A.-3<m<3 B.0<m<6 C.-3<m<6 D.0<m<3
4．已知
与
为非零向量,下列命题（1）
（2）
（3）
且//.其中可以作为=的必要但不充分命题是（ ）
A.（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3）
5．已知直线
、m，平面
、β，且
给出下列命题
①若∥β，则
②若，则∥β ③若⊥β，则//m ④若∥m，则⊥β，其中正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．设0<a<1，实数x,y满足x+
=0，则y关于x的函数的图象大致形状是（ ）
A B C D
7．抛物线x=2y上距离点A（0，a）（a>0）最近的点恰好是顶点,这个结论成立的充要条件是（ ）
A.a>0 B.
C.a
1
D.0<a
1
8. 探索以下规律：
则根据规律，
从2002到2004，箭头的方向依次是
（A） （B） （C） （D）
9．当x
R时，函数f（x）满足
，且
，f（2）=lg15，则f（2004）=（
）
A．-1 B.- lg15 C.1 D. lg 
10．已知x
,不等式
恒成立,则实数a的取值范围为（ ）A
B
C
D
11. 设随机变量ξ服从正态分布N（0, 1），记Φ(x)=P(ξ< x)，则下列结论不正确的是( )
A．Φ(0) =
B．Φ(x)=1―Φ(―x)
C．P(ξ< a) = 2Φ(a) ―1 D．P(ξ> a) = 1―Φ(a)
12．某工厂有100名工人,现需加工5000个甲种零件3000个乙种零件.每个工人每小时能完成4个甲种零件和3个乙种零件.如果你是厂长,为使这批零件尽快完成,应安排加工甲种零件的人数为（ ）
A.44 B.45 C.44或55 D.55或56
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上.
13．已知
,则函数y=4
sinxcosx+cos2x的值域______
14．在平面直角坐标系中,若方程m(x+y+2y+1)=（x-2y+3）表示的曲线是椭圆,则m的取值范围是_____________
15．设f（x
）=0，f
(x
)=,则
=______
16．在400ml自来水中有1个大肠杆菌,从中随机取出2ml,放到显微镜下观察,发现大肠杆菌的概率是_________
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在相应题目的答题区域内作答.
17．（本小题满分12分）设向量
=（1+cosα，sinα），
=（1+cosβ，sinβ），
=（1，0），α∈（0，
），β∈（，2），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且θ1―θ2=，求
的值
18．（本小题满分12分）甲乙两人独立地破译国际恐怖组织的1个密码，他们能译出的概率分别是
和
.试求
1.恰有1个人译出的概率;
2.至多1人译出的概率;
3.若达到译出的概率为
,至少需要多少个乙这样的人?
19. （本小题满分12分）设f(x) = alnx + bx2 + x在x1=1与x2=2时取得极值，
（1）试确定a、b的值；
（2）求f(x)的单调增区间和减区间；
（3）判断f(x)在x1、x2处是取极大值还是极小值。
20. （本小题满分12分）如图，在长方体ABCD―A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=
4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求：
（1）cos (
)；
（2）直线AD与平面ANM所成的角的大小；
（3）平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的大小.
21. （本小题满分12分）已知点H（0，―3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
，
。
（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上。
22．（本小题满分14分）
已知函数
，设正项数列{
}的首项
，前n项和Sn满足
（1）求的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线Ln的斜率为an,且Ln与曲线
有且仅有一个公共点，Ln又与y轴交于点Dn（0，bn）,当
若
求证：C1+C2+C3…+Cn－n<1.
参考答案
1.C2.D3.D4.D5.D6.A7.D8.c9.A10.D11.D12.D
13.
14.
15.
16.
17．解：∵α∈（0，），β∈（，2）， ∴
，
又
，
∴
又
且
，
∴
∴
∴
18.（1）
（2）
（3）n=17
19．解（1）令
则2bx2+x+a=0
由题意知：x=1，2是上方程两根，由韦达定理：
∴
（2）由（1）知：
令
解得：x<0或1<x<2
∴f(x)的单调增区间为（1，2） 减区间是（0，1）和（2，+
）
（3）由（2）知：f(x)在x1=1处取极小值，在x2=2处取极大值。
20．
（1）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z轴。
则D（0，8，0），A1（0，0，4），M（5，2，4）
∴
∵
∴
（2）由（1）知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，
∴A1D⊥平面AMN，垂足为N。
因此AD与平面所成的角即是∠DAN。
易知∠DAN = AA1D = arctan2
（3）∵AA1⊥平面ABCD，A1N⊥平面AMN，
∴
和
分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为
，则
=（，）=∠AA1N
= AA1D = arccos
21．（1）解：设P（a,0），Q（0，b）
则：
∴
设M（x,y）∵
∴
∴
（2）解法一：设A(a,b)，
，
（x1≠x2）
则：直线SR的方程为：
，
即4y = (x1+x2)x－x1x2
∵A点在SR上，∴4b=(x1+x2)a－x1x2 ①
对求导得：y′=x
∴抛物线上S、R处的切线方程为：
即4
②
即4
③
联立②③，并解之得
，代入①得：ax－2y－2b=0
故：B点在直线ax－2y－2b=0上
解法二：设A(a,b),当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为y－b=k(x－a)
与联立消去y得：x2－4kx+4ak－4b=0
设，（x1≠x2）
则由韦达定理：
又过S、R点的切线方程分别为：
，
联立，并解之得
（k为参数）
消去k，得：ax－2y－2b=0. 故：B点在直线2ax－y－b=0上
22．解：（1）
，
所以数列
是以为首项、为公差的等差数列，……………………2分
……………………4分
又
…………………………………………5分
（2）设Ln：
，
据题意方程有相等实根，
…………7分
（另解：设Ln与的公共点为P（
），则点P处的切线斜线率
令
.）
当
……9分
…………………………………………………………………………………………11分
…………………13分
……………………………………………………………………14分