2004-2005届高考数学仿真试题（四）（广东）
命题：廖美东 考试时间：2005-4-13
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中c表示底面周长，l表示斜
P（AB）=P（A）P（B） 高或母线长
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题p:a2+b2＜0(a,b∈R);命题q:a2+b2≥0(a,b∈R),下列结论正确的是
A.“p或q”为真 B.“p且q”为真
C.“非p”为假 D.“非q”为真
2.已知向量a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin15°),那么｜a－b｜的值是
A.
B.
C.
D.1
3.正项等比数列｛an｝满足：a2·a4=1,S3=13,bn=log3an，则数列｛bn｝的前10项的和是
A.65 B.－65 C.25 D.－25
4.空间四边形四条边所在的直线中，互相垂直的直线最多有
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
5.P为椭圆
=1上一点，F1、F2为焦点，如果∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率为
A.
B. C. D.
6.有下面四个命题，其中正确命题的序号是
①“直线a、b为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a、b不相交”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”;
③“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
④“直线a∥平面α”的必要而不充分条件是“直线a平行于α内的一条直线.”
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
7.如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的平均数（期望）为3，那么2(a1－3)、2(a2－3)、2(a3－3)、2(a4－3)、2(a5－3)、2(a6－3)的平均数（期望）是
A.0 B.3 C.6 D.12
8.如果函数y=log2｜ax－1｜(a≠0)的图象的对称轴方程是x=－2,那么a等于
A. B.－ C.2 D.－2
9.若f(x)=ax3+3x2+2,且f′(－1)=4,则a等于
A.
B.
C.
D.
10.已知抛物线y=ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P（1，2）作PQ⊥l，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）
11.已知x、y满足线性约束条件
则线性目标函数z=3x+2y的最小值是_________.
12.(1－x+x2)3(1－2x2)4=a0+a1x+a2x2+…+a14x14,则a1+a3+a5+…+a11+a13=___________.
13.有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的面积之比为___________.
14.设函数f(x)=sin(wx+
)(w＞0,－
＜＜
,给出以下四个结论：
①它的周期为π;②它的图象关于直线x=
对称；③它的图象关于点（
,0）对称； ④在区间（－
,0）上是增函数.
以其中两个论断为条件，另两个论断作结论写出你认为正确的一个命题：
________________________________________________________________________.
三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.（本小题满分12分）
沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（绿灯亮通过）的概率分别为
，，
，对于在该大街上行驶的汽车，
求：（1）在三个地方都不停车的概率；
（2）在三个地方都停车的概率；
（3）只在一个地方停车的概率.
16.(本小题满分12分)
已知平面向量a=(
,－1),b=(,),若存在不为零的实数k和角α,使向量c=a+ (sinα－3)b,d=－ka+(sinα)b,且c⊥d，试求实数k的取值范围.
17.（本小题满分13分）
如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.
求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC与平面PBD所成的角；
（3）在线段PB上是否存在一点E，使得PC⊥平面ADE？若存在，请加以证明，并求此时二面角A—ED—B的大小；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分13分）
如图所示，曲线段OMB是函数f(x)=x2(0＜x＜6)的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t,f(t)）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，
（1）试用t表示切线PQ的方程；
（2）试用t表示出△QAP的面积g(t);若函数g(t)在（m,n）上单调递减，试求出m的最小值；
（3）若S△QAP∈［
,64］，试求出点P横坐标的取值范围.
19.(本小题满分14分)
已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
·
=0，=－
，
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.
20.（本小题满分16分）
设f1(x)=
,定义fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an=
,其中n∈N*.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
（2）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=
,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.
2004-2005届高考数学仿真试题（四）（广东）
参考答案
1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C
11. 12.－13
13.1∶2∶3
14.①②
③④或①③②④
15.(1)P=××=
. 4分
（2）P=××= 8分
（3）P=××+××+××=
. 12分
16.∵c⊥d,
∴c·d=0, 2分
即［a+(sinα－3)b］·［－ka+(sinα)b］=0, 4分
也即－ka2+a·b·sinα－k(sinα－3)a·b+sinα(sinα－3)b2=0,
又∵a=(,－1),b=(,),
∴a·b=0,且a2=｜a｜2=4,b2=｜b｜2=1, 6分
∴－4k+sinα(sinα－3)=0, 8分
k=
(sinα－)2－
, 10分
而－1≤sinα≤1,
∴当sinα=－1时，k取最大值1；
当sinα=1时，k取最小值－.
所以所求k的取值范围为［－,1］ 12分
17.(1)∵PD⊥底面ABCD，
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，
∴AC⊥平面PBD， 2分
又AC
平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD. 4分
（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，
AC⊥平面PBD，
∴PC在平面PBD内的射影是PO，
∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角， 6分
∵PD=AD,
∴在Rt△PDC中，PC=
CD，
而在正方形ABCD中，OC=AC= CD，
∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°.
即PC与平面PBD所成的角为30°. 8分
（3）在平面PBD内作DE⊥PO交PB于点E，连AE，
则PC⊥平面ADE.以下证明：
由（1）知，AC⊥平面PBD，
∴AC⊥DE，
又PO、AC交于点O，
∴DE⊥平面PAC，
∴DE⊥PC，（或用三垂线定理证明）
而PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又∵AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，
∴PC⊥平面ADE，由AC⊥平面PBD，
∴过点O作OF⊥DE于F，
连AF，由三垂线定理可得，AF⊥DE，
∴∠OFA是二面角A—ED—B的平面角， 10分
设PD=AD=a，在Rt△PDC中，
求OF=
a,
而AO=a,
∴在Rt△AOF中，∠OFA=60°，
即所求的二面角A—ED—B为60°. 13分
18.（1）设点M（t,t2）,
又f′(x)=2x,
∴过点M的切线PQ的斜率为k=2t, 2分
∴切线PQ的方程为y－t2=2t(x－t),
即y=2tx－t2. 4分
（2）由（1）可求得P(
,0),Q(6,12t－t2)
∴g(t)=S△QAP=(6－t)(12t－t2)
=t3－6t2+36t,(0＜t＜
, 6分
由于g′(t)=
t2－12t+36,
令g′(t)＜0,则4＜t＜12,
又0＜t＜6,∴4＜t＜6,
∴g(t)的单调递减区间为（4，6），
因此m的最小值为4. 8分
（3）由（2）得，g(t)在（4，6）上递减，
∴此时S△QAP∈(g(6),g(4))=(54,64),
令g′(t)＞0,得0＜t＜4,
∴g(t)在（0，4）上递增.
∴此时S△QAP∈(g(0),g(4))=(0,64),
又g(4)=64,
∴函数g(t)的值域为(0,
. 10分
由≤g(t)≤64,得1≤t＜6,
∴≤＜3,
∴点P的横坐标∈［,
. 13分
19.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=－,得P(0,－
),Q(
,0), 2分
由·=0，得（3，－）(x,
)=0,
又得y2=4x, 5分
由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6分
（2）设直线l:y=k(x+1),
其中k≠0,代入y2=4x,
得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,① 7分
设A（x1,y1）,B(x2,y2),
则x1,x2是方程①的两个实根，
∴x1+x2=－
,x1x2=1,
所以，线段AB的中点坐标为(
,
), 9分
线段AB的垂直平分线方程为
y－=－
(x－), 11分
令y=0,x0=
+1,
所以点E的坐标为(+1,0)
因为△ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于｜AB｜,
而｜AB｜=
=
·
, 13分
所以，
=
,
解得k=±,得x0=
. 14分
20.（1）f1(0)=2,a1=
=,
fn+1(0)=f1［fn(0)］=
,
an+1=
=
=
=－=－an, 4分
∴数列｛an｝是首项为,公比为－的等比数列，
∴an=(－)n－1. 6分
（2）T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n－1)a2n－1+2na2n,
－T2n=(－a1)+(－)2a2+(－)3a3+…+(－)(2n－1)a2n－1+(－)·2na2n
=a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n, 9分
两式相减得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n,
所以，T2n=
+n×(－)2n－1=
－(－)2n+
(－)2n－1, 11分
T2n=－(－)2n+
(－)2n－1=(1－
).
∴9T2n=1－,
Qn=1－
, 13分
当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn;
当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn; 14分
当n≥3时，22n=［（1+1）n］2
=(C
+C
+C
+…+C
)2＞(2n+1)2,
∴9T2n＞Qn. 16分