高考数学串讲（共6讲）

高考数学串讲（四） 应用问题

一，基础知识

1，概率与统计

（1）等可能性事件的概率（古典概型）。

试验由个基本事件组成，所有结果等可能出现，如果某个事件A包含的结果有个，

那么事件A的概率为。

（2）互斥事件的概率：；

对立事件的概率：。

（3）相互独立事件的概率：①若与互相独立，则；

②如果在一次试验中某事件发生的概率是，则在次独立重复试验中这个事件

恰好发生次的概率为：。

（4）离散型随机变量的分布列与期望：

设离散型随机变量的分布列为：（）

则的期望。

其中①；②。

2，求函数最值的常用方法

（1）一次函数：①根据函数的单调性求解；②运用线性规划的方法求解。

（2）二次函数：①运用配方法求解；②运用数形结合求解。

（3）其它函数：

①配方法：如，求函数的最小值。

　　　　 配成。

②求导法，运用函数的单调性求解。

③判别式法：如，求的最大值和最小值。

④不等式法：（i），则；（ii）。

⑤换无法：当时，求函数的最小值。

⑥数形结合法。

二，跟踪训练

1，（05江西）A，B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现

正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或

在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设表示游戏终止时掷硬币的次数。

（I）求的取值范围；

（II）求的数学期望。

2，（05广东）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.

（Ⅰ）求ξ的分布列；

（Ⅱ）求ξ的数学期望

3，（05湖南）某城市有甲，乙，丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为

0．4，0．5，0．6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。

（I）求ξ的分布列及数学期望；

（II）记“函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率。

4，（05重庆）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张

券中任抽2张，求：

（I）该顾客中奖的概率；

（II）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布和期望。

5，（04广东）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)。

6，（04辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂。由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入。在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年

利润（元）与年产量（吨）满足函数关系。

若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格），

（I）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

（II）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元）。在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格

是多少？

三，简明提示

1，  解：（I）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：

（II）

2，解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n

ξ的分布列为

ξ	0	1	2	…	n-1	n
p				…

(II) 的数学希望为

…(1)

…(2)

(1)　－(2)得

。

3，解（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件

，。由已知，相互独立，。

客人游览的景点数的可能取什为0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值

为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3。

=，。则。

（II）由，得，从而。

4，解：（Ⅰ），即该顾客中奖的概率为.

（Ⅱ）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

	0	10	20	50	60
P

故有分布列：

从而期望

5，解：如图，

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PA=PB，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故PB－ PA=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，

依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵PB>PA,

答：巨响发生在接报中心的西偏北45⁰距中心处.

6，解（I）乙方的实际年利润为

=。当时，取得最大值。

（II）设甲方净收入为元，则，将代入得

，得，

令得。

当时，；当时，。所以时，取得最大值。