高二数学下学期期末考试卷
高二数学试卷（实）
命题人：周湖平 2008、6、20
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合A={－1, 0, 1}，集合B={0, 1, 2, 3}，定义A＊B={(x, y) x∈A∩B, y∈A∪B}，则A＊B中元素个数是（ ）
A.7 B
3、
=（ ）
A、
B、3 C、－1 D、－3
4、函数
的图像过点（-1，3），则函数
的图像关于
轴对称的图形一定过点（ ）
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
5、已知
的图象过点(2,1)，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线
（实线表示），另一种是平均价格曲线
（虚线表示）（如
是指开始买卖后三小时的即时价格为10元；
表示三个小时内的平均价格为10元）。下列给出的四个图像中，可能正确的是（ ）
A B C D
7．设方程 
的两个根为
，则 （ ）
A 
B
C 
D 
8．有一矩形纸片ABCD，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B都落在边AD上，将B的落点记为
，其中EF为折痕，点F也可落在边CD上，过作H∥CD交EF于点H，则点H的轨迹为（ ）
A．四分之一圆 B．四分之一椭圆
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
9．已知实数x满足x<1，n是大于1的整数，记
，则（ ）
A、
B、
C、
D、
的大小不定
10．已知f ( x )是定义在实数集R上的不恒为零的函数，且对于任意a、b∈R，满足f (ab)＝af ( b )＋bf ( a )，f ( 2 )＝2，记，，其中n∈N*，考查下列结论：①f ( o )＝f ( 1 ) ②f ( x )是R上的偶函数 ③数列{an}为等比数列 ④数列{bn}等差数列，其中真命题的个数为（ ）
A．１个 B．２个 C．３个 Ｄ．４个
11．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )
A. 
. B. 
. C. D. 
12、已知方程
的两实根
满足
,
,则
( )
A.有最大值但无最小值 B. 有最小值但无最大值
C. 既有最大值也有最小值 D. 既无最大值也无最小值
第II卷（选择题 共90分）
二、填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13．已知 
，且非p是非q的充分条件，则a的取值范围为
.
14．值域为{2,5,10}，其对应关系为
的函数的个数.
15．已知
则
的最小值是 .
16．给出下列四个命题
①已知函数
，则f(x)为偶函数
②函数
与函数
互为反函数．
③函数
在
处取得极大值
④已知函数
的图象在M（1，f（1））处的切线方程是
+2，则
3.
其中真命题的代号是：_____________________（写出所有真命题的代号）
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答写出必要的文字说明，注明过程及演算步骤）
17．(本小题满分12分)
已知关于
的不等式
的解集为
，且
，求实数
的取值范围．
18．(本小题满分12分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
，
…
后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和
平均分；
(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，
求他们在同一分数段的概率.
19．（本小题满分12分）
有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.
| 第一排 | 明文字符 | A | B | C | D |
| 密码字符 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
| 第二排 | 明文字符 | E | F | G | H |
| 密码字符 | 21 | 22 | 23 | 24 | |
| 第三排 | 明文字符 | M | N | P | Q |
| 密码字符 | 1 | 2 | 3 | 4 |
设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数.
（Ⅰ）求P（ξ=2）
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.
20、（本小题满分12分）
|
中，侧棱PA⊥底面ABCD， AD∥BC，∠ABC=
，
，
．
（Ⅰ） 求点D到平面PBC的距离；
（Ⅱ） 求二面角
的大小．
21．（本小题满分12分）
(12分)设a为常数,
.
(1)若
对
恒成立,求a的取值范围.
(2)求
有极值的条件及相应的极值.
22．（本小题满分14分）
已知函数fn(x)(n∈N*)具有性质:
fn(0)=
,
n［fn(
)-fn(
)］=［fn()-1］fn(),k=(0,1,2,…,n-1).
(1)当n为一定值时,记ak=
,求ak的表达式(k=0,1,2,…,n);
(2)对n∈N*,证明:
<fn(1)≤
参考答案
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | B | A | B | C | C | D | D | A | C | D | A |
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．
14．27 15．
16．① ③_
三、解答题
17．解：由
，得：
，
，
．
当
时，原不等式的解集
不是
的子集． 
当
时，∵
，
（1）当
时，
，则
，此时，不等式的解集
；
（2）当
时，
,故
；
（3）当
时，
，则
，此时，不等式的解集
不是的子集； 
（4）当
时，，此时，不等式的解集
不是的子集．综上，
．
18．解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
……2分
直方图如右所示……………………………….4分
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 
所以，抽样学生成绩的合格率是
%......................................6分
利用组中值估算抽样学生的平均分
………………….8分
＝
＝71
估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分
（Ⅲ）
，
，
”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。
…………12分
19．解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.
…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.
若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.
若
（或用
求得）. ………………………………………………8分
的分布列为：
| ξ | 2 | 3 | 4 |
| p |
|
|
|
……………………………………………12分
20．解：解法一
（（Ⅰ）如图，在四棱锥
中，
∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离.
∵∠ABC=，∴AB⊥BC， 又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面 PAB，………2分
∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，
|
，∴
．………5分
即点D到平面PBC的距离为
．………………6分
（Ⅱ） ∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，
引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，
∴MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂线定理可知CN⊥PD，
∴∠CNM是二面角的平面角．…………9分
依题意，，
∴
，∴
，
可知
，∴
，
，∴二面角的大小为
…… 12分
解法二：如图, A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
|
，，
∴，
∴. 则
，
，
，
，
∴
，
，
.
设平面PBC的一个法向量为
，则
令
，得
，
则点D到平面PBC的距离等于
．……………6分
（Ⅱ） ∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为
.
设平面PDC的一个法向量为
，∵，
，
∴
令
，得
，∴
.
∵二面角是锐二面角，∴二面角的大小为
．……12分
21．解.(1)易得
,故原条件化为
对恒成立.令
,则
,当时显然有
,故
上单调递增,从而
.故所求a的取值范围是
…………6分
(2)
.
①若
,则
时
,即
在
单减;
时,
,即在
单增,从而有极小值
-2a
②若
,则
时,即在其定义域上是增函数,从而无极值.
综上所述,当且仅当时有极小值
.………………12分
22．解： (1)因为n［fn()-fn()］=［fn()-1］·fn(),所以
-
=1, ………2分
即(n+1)ak-nak+1=1. ………………3分 所以
=1+
.………………5分
因为n为定值,所以数列{ak-1}是以a0-1为首项,1+为公比的等比数列,可得ak=1+(1+)k(k=0,1,2,…,n). ………………6分
(2)证明:因为ak=,所以fn(1)=
=
).要证<f(1)≤,只需证2≤(1+)n<3. ………………8分
因为(1+)n=1+C
+C
+…+C
=1+1+…≥2. ………………10分
又(1+)n=1+C+C+…+C=1+1+
+…+
≤1+1+
+
+…+
<1+1++
+…+
=3-()n<3, 所以原命题成立. ………………14分