高二数学下期期末考试试题
高2009级数学试题（理科）
考试时间120分钟 满分150分
命题人：魏华 审题人：邱旭
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在后面的括号内
1．某研究所有编号为1,2,3,4的四个饲养房，分别饲养有18、54、24、48只白鼠供试验用，某项试验需抽取24只白鼠，你认为最合适的抽样方法为（ ）
（A）在每个饲养房各抽取6只
（B）为所有白鼠都加上编有不同号码的项圈，用随机抽样法确定24只
（C）在四个饲养房分别抽取3、9、4、8只
（D）先确定这四个饲养房应分别抽出3、9、4、8只样品，再由各饲养房自己加号码项圈，用简单随机抽样确定各自抽出的对象
2．要从四个学校中选出6人作“市优干”，每校至少一名，这6个名额有（ ）种分配方法.
（A）15 （B）20 （C）10 （D）6
3．3名男生2名女生排成一排，女生甲始终排在女生乙的左边的排法种数是（ ）
（A）120 （B）60 （C）48 （D）24
4．
的展开式中，常数项为15，则
等于（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球排成一列，要求1号球与2号球必须相邻，5号球与6号球不相邻，则不同的排法种数有（ ）
（A）36 （B）142 （C）48 （D）144
6．
的值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．在大小等于
的二面角
内，放一半径为3的球O，球O与半平面
分别切于A、B两点，则过A、B两点的球面距离等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．在正方体
中，P是侧面
内
一动点，若P到直线BC与到直线
的距离相等，则动
点P的轨迹所在曲线是（ ）
（A）直线 （B）圆
（C）双曲线 （D）抛物线
9．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为
，且四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10．从正方体的六个面中选取3个面，其中2个面不相邻的概率是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
11．已知
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
12．在棱长为4的正方体中，
点E、F分别在棱
和
上，且
，
则
的最大值为（ ）
（A） （B） （C）
（D）
高二数学下期期末考试试题
高2009级数学答卷
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上
13．设随机变量
的分布列为：
|
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
|
则的数学期望
的最大值为
．
14．在
的展开式中，系数最小的项是
．
15．如图，A、B、C是球O的球面上三点，且OA、OB、OC
两两垂直，P是球O的大圆上BC弧上的中点，则直线AP与OB
所成角的弧度数是 ．
16．已知
，若
为满足
的一随机整数，则
是
的概率是_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分
17．（12分）在长方体中，
，
分
所成比为2，
（1）求点
到平面
的距离；
（2）求直线
与平面所成角的大小．
18．（12分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在编号为1～10的10道试题中，甲能答对编号为1～6的6道题，乙能答对编号为3～10的8道题，规定每位考生都从备选题中抽出3道试题进行测试，至少答对2道才算合格，
（1）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
19．（12分）如图所示的正方体中，E是BC的中点，在
上求一点P，使面
面
．
20．（12分）如图，直四棱柱的高为3，底面是边长为4的菱形 ，且
，
，
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的大小．
21．（12分）一种信号灯，只有符号“√”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“√”和“×”两者之一，其中出现“√”的概率为
，出现“×”的概率为
，若第
次出现“√”，记为
，若第次出现“×”，则记为
，令
，
（1）求
的概率；
（2）求
，且
的概率．
22．（14分）设
，试比较
与
的大小，并证明你的结论．
高二期末测试题(理科)参考答案
一、选择题（每题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 选项 | D | C | B | D | D | D | A | D | A | B | C | B |
二、填空题（每题4分，共16分）
13、；
14、
； 15、
； 16、
三、解答题（共74分）
17、解：（1）如图建立空间直角坐标系：
。（3分）
设面
的法向量为
，
所以
，
令
，则
。
（6分）
。
（8分）
（2）
（9分）
。
（11分）
所以直线与平面所成角的大小为
。
（12分）
18、解：（1）
；
（1分）
；
（2分）
；
（3分）
。
（4分）
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
所以的分布列为
（5分）
。
（6分）
（2）
(甲合格)=
；
（8分）
(乙合格)=
；
（10分）
所求=
。
（12分）
19、解：以D为原点，DA为
轴，DC为
轴，DD1为
轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，且
，则
，
，
设
且
平面
，则
，取
。
（4分）
又
，
，
设
且
平面
，则
，取
。
（8分）
由面⊥面，得
即
解得
。
故为的中点。
（12分）
（注：几何证法：由EC1⊥A1B1，在面BCC1B1内，过B1作B1P⊥EC1交CC1于P，易知P为CC1中点。酌情给分）
20、解：（1）
是直四棱柱，
面
，又
面，所以
。
（2分）
又
是菱形，
所以
面
。
（4分）
即面
，又面，
所以平面平面。
（6分）
（2）过O作
于H，连接
，则
为二面角的平面角。 （8分）
在
中，
。
（10分）
又
。
。
故二面角的大小为。
（12分）
（注：向量解法，酌情给分）
21、解：（1）
即前四次中有三次出现“√”，一次出现“×”，
所以概率为
。
（4分）
（2）
，
（7分）
，
（10分）
所以所求概率为
。
（12分）
22、证明：
，
（2分）
比较与的大小，即比较
与
的大小。 （3分）
猜想：
（当且仅当
时，等号成立）
（5分）
下面用数学归纳法加以证明：
（1）当
时，易证。（略）
（7分）
（2）假设当
时，猜想成立，即
（8分）
当
时，
（注：
）
要证猜想成立，只需证明
（11分）
即证
亦即
由易得上式成立，即时，猜想成立。
（13分）
综上（1）（2）可知，猜想成立。 （14分）
（另证：令
，要证
，即证
，由二项式定理展开，易得证。酌情给分）