高二数学数列单元测试题

姓名______　 学号_______　　班级______　　 第二章 　　数列测试题　（1）

　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 命题　 洞口三中　方锦昌

一、选择题　1、设是等差数列，若,则数列前8项的和为(　　 )

A.128　　　　　　　 B.80 　　　 C.64　　　　D.56

2、记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（　 ）

A、2　 　　B、3　　　　C、6　　　　　　 D、7

3、设等比数列的公比，前n项和为，则（　）

A．　　　 B．　　　 C．　　　D．

4、设等差数列的前项和为，若，，则（　　）

A．63　　　B．45　　　C．36　　  D．27

5、在数列中，， ，则（　）

A．　　  B．　　　　 C．　　  D．

6、若等差数列的前5项和，且，则（　　）

（A）12　　　 　　（B）13　　　　　 （C）14　　　　　 （D）15

7、已知是等比数列，，则=(　 )

（A）16（）　　 （B）16（）　（C）（）　　 （D）（）

8、非常数数列是等差数列，且的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为　（ 　 ）　　A．　　  B．5　　　 C．2　　　 D．

9、已知数列满足，则=（　 ）

　　　　　A．0　　　　B．　　　　　C．　　　　　　D．

10、在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,黑、白两只蚂蚁均从点A出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是AA₁ÞA₁D₁ÞD₁C₁Þ…；黑蚂蚁的爬行路线是ABÞBB₁ÞB₁C₁Þ…,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i+2段与第i段所在的直线必为异面直线(其中i为自然数),设黑、白蚂蚁都爬完2008段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为 (　 )

 A  1　　　  B　　 　　　　　　　　C　　　　　　　　D　0

二、填空题　11．已知为等差数列，，，则____________

12．设数列中，，则通项 ___________。

13．设是等差数列的前项和，, ,则　　　　 

14．已知函数,等差数列的公差为.若,则　　　　　 .

15、将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为　　 

三、解答题

 16、已知数列的首项，通项，且成等差数列。求：（Ⅰ）p,q的值； (Ⅱ) 数列前n项和的公式。

17．已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）数列的前项和．

18．数列｛a_n｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.

（1）求数列的公差；（2）求前n项和S_n的最大值；（3）当S_n＞0时，求n的最大值．

19．设等比数列的首项，前n项和为，且，

且数列各项均正。（Ⅰ）求的通项； （Ⅱ）求的前n项和。

20、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加;①设n年内(本年度为第一年)总投入为a_n万元,旅游业总收入为b_n 万元,写出a_n、b_n的表达式;② 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入

21．已知等差数列满足

（1）求数列的通项公式；　 （2）、把数列的第1项、第4项、第7项、……、第3n－2项、……分别作为数列的第1项、第2项、第3项、……、第n项、……，求数列的所有项之和；

 

　第二章 　数列测试题　（2）

一、选择题1、下列命题中正确的( ) (A)若a，b，c是等差数列，则log₂a，log₂b，log₂c是等比数列 (B)若a，b，c是等比数列，则log₂a，log₂b，log₂c是等差数列 (C)若a，b，c是等差数列，则2^a，2^b，2^c是等比数列　(D)若a，b，c是等比数列，则2^a，2^b，2^c是等差数列

2、若a,b,c成等比数列，m是a,b的等差中项，n是b,c的等差中项，则(　　 )  

(A)4　　　　  (B)3　　　　  (C)2　　　　　　　　 (D)1　

3、等比数列{a_n}中，已知对任意自然数n，a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n=2ⁿ－1，则a₁²＋a₂²＋a₃²＋…+a_n²等于(　) (A)　　 (B) 　　 (C) 　　　　(D)

4、已知数列｛a_n｝是等差数列，首项a₁<０，a₂₀₀₅＋a₂₀₀₆<０，a_2005·a₂₀₀₆<０，则使前n项之和S_n<０成立的最大自然数n是（　）Ａ 4008　　　Ｂ　4009　　Ｃ　4010　　　 Ｄ　4011

5、已知数列｛a_n｝满足a₁=4, a_n+1 +a_n =4n+6(n∈N*),则a₂₀ =( 　 )

A　40 　　　　　B  42　 　　 C 44　 　　　D　46

6、在等比数列｛a_n｝中，a₁=2,前n项之和为S_n，若数列｛a_n+1｝也是等比数列，则S_n=( 　)　

　　A 2ⁿ⁺¹-2　 　　　 B 3n 　　　　C 2n　　　　　　D 3ⁿ-1

7、已知数列｛a_n｝满足:a₁=1, a_n+1 =2a_n +3(n∈N*)，则a₁₀ =（　 ）

A、2¹⁰-3　 　　B、 2¹¹-3 　　　C、2¹²-3 　　　　　　D、2¹³-3

8、已知数列{}的前项和，第项满足，则（　　）

　 A．　　　　 B．　　　　  C. 　　　　 D．

9、各项均为正数的等比数列的前n项和为S_n，若S_n=2,S₃₀=14,则S₄₀等于（　　）

A．80　　　B．30　　　　　　 C．26　　　　D．16

10、设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）

Ａ．2　　 　　Ｂ．4　　　　　Ｃ．6　　　　　　　 Ｄ．8

二、填空题　11、已知等比数列｛a_n｝中，a₁＋a₂=9,a₁a₂a₃=27,则｛a_n｝的前n项和 S_n= __________

12、 数列｛a_n｝满足：a₁=,且 = (n∈N*,n≥2),则数列｛a_n｝的通项公式是a_n =______

13、已知数列｛a_n｝满足:a₁=2, a_n+1 =2（1+)²·a_n (n∈N*),则数列｛a_n｝的通项公式a_n =____

14、已知数列｛a_n｝满足:a₁=1, a_n+1 - a_n =4n-2(n∈N*)，则使a_n ≥163的正整数n的最小值是____

15、已知数列｛a_n｝的通项公式a_n =log₂() (n∈N*),其前n项之和为S_n，则使S_n<-5成立的正整数n的最小值是_____

三、解答题:　

★16．等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．

★17、设关于x的一元二次方程x-x+1=0 (n∈N*)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用表示a；　 (2)求证:数列{-}是等比数列.(3)当 =时,求数列{}的通项公式.

★18．设数列满足其中为实数，且　（Ⅰ）求数列的通项公式　（Ⅱ）设，,求数列的前项和；

★19．已知是一个等差数列，且，．　

 （Ⅰ）求的通项；　　　 （Ⅱ）求前n项和S_n的最大值．

★20题、沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造，乙企业的经营状况是，每月收入45万元，但因设备老化，从下个月开始需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月递增2万元。甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业；据测算，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后各月收入都稳定在第五个月的水平上，若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？

★21、　已知正数数列｛｝满足：=1，ｎ∈时，有=

(1)、求证：数列｛｝为等差数列；并求｛｝的通项公式；（2）、试问· 是否为数列｛｝中的项，如果是，是第几项，如果不是，说明理由；（3）、设=·（ｎ∈），若｛｝的前ｎ项之和为，求

附（备选例题）：

★1．在数列中，，. (Ⅰ)设.证明：数列是等差数列； (Ⅱ)求数列的前项和

★2、 已知数列为等差数列，且　 （Ⅰ）求数列的通项公式；　 （Ⅱ）证明

★3、甲乙两物体分别从相距70米的两处相向运动，甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米，①甲、乙开始运动几分钟后相遇？②如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米 ，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟之后第二次相遇?

★4、 某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测今年起每年比上一年纯利润减少20万元。今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）；设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A_n万元,进行技术改造后的累计纯利润为B_n万元（需扣除技术改造资金）,（1）、求A_n、B_n的表达式;（2）、依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润

★5、如图所示，一个计算装置示意图,J₁、J₂是数据入口，C 是计算结果的出口；计算过程由J₁、J₂ 分别输入自然数m和n,经过计算所得结果由出口C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：①若 J₁、J₂ 分别输入1，则输出结果为1；②若 J₁输入任何固定自然数不变，J₂输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若J₂输入1，J₁输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍

试问：①若 J₁输入1，J₂输入自然数n, 则输出结果为多少?

　　　②若 J₂输入1，J₁输入自然数m, 则输出结果为多少?

③若 J₁输入m，J₂输入自然数n, 则输出结果为多少?

参考答案：　　　　数列测试题（1）：

1、  C ；2、B　；3、C； 4、B；5、A ； 6、B ；7、C　；8、C； 9、B； 10、B

11． 15；12． ；13． -72 ； 14． -6 ； 15、；

16、（Ⅰ）解：由

 

 (Ⅱ)解：

17．解：（Ⅰ） ， ，　  ，又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．设…，　　　①　则…，②　　由①②得， ．又…． 数列的前项和 ．

18 、(1)由已知a₆=a₁＋5d=23＋5d＞0，a₇=a₁＋6d=23＋6d＜0，解得:－＜d＜－，又d∈Z，∴d=－4　(2)∵d＜0，∴{a_n}是递减数列，又a₆＞0，a₇＜0　∴当n=6时，S_n取得最大值，S₆=6×23＋ (－4)=78　 (3)S_n=23n＋ (－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0　 ∴0＜n＜，又n∈N*，所求n的最大值为12.

19．（Ⅰ）由  得  即可得因为，所以 　解得，因而 　（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和

前两式相减，得 

　 即　

20、●解、①总投入：a₁=800万元，　　　　　　　　  ② 总收入：b₁=800万元，

a_{n =} 800×　　　　　　　　　  b_{n =} 400×

=4000[1-()ⁿ]　　　　　　　　　　  = -1600[1-()ⁿ]

考查 b_n- a_n >0 则5×()ⁿ+2×()ⁿ -7>0；设 ()ⁿ=x,则5x²-7x+2> 0从而有x<即　()ⁿ< 则有n≥5

21．解：（1）{a_n}为等差数列，，又且

求得，　　公差　∴

（2），　　∴　 ∴　　∴{}是首项为2，公比为的等比数列　 ∴{}的所有项的和为

数列测试题（2）：

1、C　；2、C ；3、D ；4、Ｃ；5、B ； 6、C； 7、B；8、B；9、C　；10、B　

11、 ；12、a_n = ；13、n²·2ⁿ；14、n≥10；15、n≥63

16． 解：设数列的公差为，则，， ．由成等比数列得，即，整理得， 解得或．当时，．当时，，于是．

17、解：（1）根据韦达定理，得α+β=，α•β=,由6α-2αβ+6β=3得 （2）证明：因为

18．解： (1) 　 当时，是首项为，公比为的等比数列。

　　　，即 。当时，仍满足上式。　数列的通项公式为 。　(2) 由（1）得　　　　　  

19．解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．所以．（Ⅱ）．所以时，取到最大值．

20、解、设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为A_n万元，进行技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为B_n①A_n＝45n-[3+5+…+（2n +1）]=45n-（n²+2n）=43n-n²

　　②当n≥5 时，B_n=+16·（）⁴·（n-5）-400=81n-594　当n≤4时，B_n=-400=16[2（）ⁿ-27]<0  显然，在前4个月里，对乙企业的技改投资未能收回，当n≥5 时，B_n - A_n=n2+38n-594>0，则n≥12， 所以，至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益

21、解、① ＋２··－=0，则－=2 则=　②·= ，是第28项；③=·=·=·（－） 则=·（1－）

附（备选例题）：

1、解：(Ⅰ) 即，所以数列是等差数列 (Ⅱ)由(Ⅰ)，所以所以

2、解：设等差数列的公差为d.　　由即d=1.所以即（II）证明因为，所以

3、解、①设n分钟后第一次相遇，则2n+ +5n=70;∴n=7

②设n分钟后第二 次相遇 ，则有2n+ +5n=70×3;∴n =15

4、解、①依题意，有A_n＝（５００－２０）＋（５００－４０）＋（５００－６０）＋…＋（５００－２n）=490n-10n² B_n=500[（1+）+（1+）+…+（1+）]-600=500n--100

考查B_n - A_n =10[n（n+1）--10]而函数y=x（x+1）--10在（0，+∞） 上为增函数，当n=1或2或3时，n（n+1）--10 <0　当n≥4时，n（n+1）--10≥20--10>0;∴仅当n≥4时，B_n>A_n

∴至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润

5、解、①转化条件：¦（1，1）=1； ¦（m,n+1）=¦（m,n）+2； ¦（m+1,1）=2¦（m,1）；　 ②所求： ¦（1,n+1）=¦（1,n）+2  Þ等差数列；¦（1,n）=¦（1,1）+2(n-1)=2n-1； ¦（m+1,1）=2¦（m,1）  Þ等比数列；¦（m,1）=¦（1,1）×2^m-1=2^m-1；¦（m,n+1）=¦（m,n）+2；则¦（m,n）=¦（m,1）+2（n-1）=2^m-1+2n-2