直线与平面的垂直的判定和性质

典型例题一

例1下列图形中，满足唯一性的是（　　　 ）．

A．过直线外一点作与该直线垂直的直线

B．过直线外一点与该直线平行的平面

C．过平面外一点与平面平行的直线

D．过一点作已知平面的垂线

分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．

解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．

B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．

C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．

D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．

故选D．

说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．

典型例题二

例2 已知下列命题：

（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；

（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；

（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．

上述命题正确的是（　　　 ）．

A．（1）、（2）　　 B．（2）、（3）　　C．（3）、（4）　　D．（2）、（4）

分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．

解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；

（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；

（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．

故选D．

说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体中，分别为棱和上的点，为棱上的点，且，，求．

典型例题三

例3 如图，在正方体中，是的中点，是底面正方形的中心，求证：平面．

分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明平面，只要在平面内找两条相交直线与垂直．

证明：连结、、，在△中，

∵分别是和的中点，

∴．

∵面，

∴为在面内的射影．

又∵，

∴．

同理可证，．

又∵，、面，

∴平面．

∵，

∴平面．

另证：连结，，设正方体的棱长为，易证．

又∵，

∴．

在正方体中易求出：

，

，

．

∵，

∴．

∵，、平面，

∴平面．

说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．

典型例题四

例4 如图，在△中，，平面，点在和上的射影分别为，求证：．

分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证，可证面，为此须证，进而可转化为证明平面，而已知，所以只要证即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．

证明：∵面，平面，

∴．

∵，即，，

∴平面．

∵平面．

∴．

又∵，，

∴平面．

∵平面，

∴，

又∵，，

∴平面．

∵平面．

∴．

另证：由上面可证平面．

∴为在平面内的射影．

∵，

∴．

说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊙所在平面，为⊙的直径，为⊙上任意一点（与不重合）．过点作的垂面交、于点，求证：．

典型例题五

例5 如图，为平面的斜线，为斜足，垂直平面于点，为平面内的直线，，，，求证：．

分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．

证明：过点作垂直于点，连．

∵，

∴在平面内射影为．

∵，，

∴．

在△中有：　　　　　　　　　  ①

在△中有：　　　　　　　　　  ②

在△中有：　　　　　　　　　　 ③

由①、②、③可得：．

说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的范围为．

典型例题六

例6 如图，已知正方形边长为4，平面，，分别是中点，求点到平面的距离．

分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点与平面平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．

证明：连结，和分别交于，连，作于．

∵为正方形，分别为的中点，

∴，为中点．

∵，平面，

∴平面．

∴与平面的距离就是点到平面的距离．

∵，∴．

∵面，∴．

∵，

∴平面．

∵平面，

∴．

又∵，，

∴平面．

即长就是点到平面的距离．

∵正方形边长为4，，

∴，，．

在△中，．

在△中，．

说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长交的延长线于，连结，作于，作交于，连结，再作于，可得平面，长即为点到平面的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．

典型例题七

例7　如图所示，直角所在平面外一点，且．

(1)求证：点与斜边中点的连线面；

(2)若直角边，求证：面．

分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．

证明：(1)在等腰中，为中点，∴．

取中点，连、．

∵，，∴．

又，∴面，∴．

∴面（、是面内两相交直线）．

(2)∵，∴．

又∵面，∴．

∵，∴面．

说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．

典型例题八

例8　如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

　已知：，．求证：．

分析：由线面垂直的判定定理知，只需在内找到两条相交直线与垂直即可．

证明：如图所示，在平面内作两条相交直线、．

∵，∴，．

又∵，从而有，．

由作图知、为内两条相交直线．

∴．

说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．

典型例题九

例9　如图所示，已知平面平面=，为、外一点，于，于，于．证明：．

分析：先证、、、四点共面，再证明平面，从而得到．

证明：∵，，∴．

∴、、、四点共面．

∵，，，∴，．

又，∴平面．

∴．

说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“、、、四点共面”非常重要，仅由平面，就断定，则证明是无效的．

典型例题十

例10　平面内有一半圆，直径，过作平面，在半圆上任取一点，连、，且、分别是在、上的射影．

(1)求证：；

(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？

(3)这个图形中有多少个直角三角形？

(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？

分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．

(1)证明：连、．如上图所示，

∵为已知圆的直径，∴．

∵平面，，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴．

∵于，，∴平面．

∵于，且是在平面的射影，∴．

解(2)：由(1)知，平面，平面，平面．

∵且，∴平面，

∴图中共有4个线面垂直关系．

(3)∵平面，∴、均为直角三角形．

∵平面，∴、均为直角三角形．

∵平面，∴、、均为直角三角形．

∵平面，∴、、、均为直角三角形．

综上，图中共有11个直角三角形．

(4)由平面知，，，．

由平面知，，，．

由平面知，，，．

由平面知，，．

综上，图中共有11对互相垂直的直线．

说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线面”可得到“线面内线”，当“线面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．

典型例题十一

例11　如图所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角．

分析：求与平面所成角，关键是确定在平面上射影的位置．由，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定位置，构造直角三角形则需用三垂线定理．

解：如图所示，过作于．连结，

则为在面上的射影，为与平面所成的角．

作，由三重线定理可得．

作，同理可得．

由，，，

可得≌，∴．

∵、分别为、在内射影，∴．

所以点在的平分线上．

设，又，∴，，

∴．

在中，，

∴，即与所成角为．

说明：

(1)本题在得出在面上的射影为的平分线后，可由公式来计算与平面所成的角，此时，，．

(2)由与平面上射影为平分线还可推出下面结论：四面体中，若，，则点在面上的射影为的内心．

典型例题十二

例12　如图所示，在平面内有，在平面外有点，斜线，，且斜线、分别与平面所成的角相等，设点与平面的距离为，，且．求点与直线的距离．

分析：由点向平面引垂线，考查垂足的位置，连、，推得，，又，故、、、为矩形的四个顶点．

解：作平面，垂足为，连、．

∵，，

∴由三垂线定理的逆定理，有：，，

又，∴为矩形．

又∵，∴，∴为正方形，

∴、互相垂直平分．

设为、的交点，连结，

根据三垂线定理，有，则为到的距离．

在中，，，

∴．

因此，点到的距离为．

说明：由本例可得到点到直线距离的作法：

(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．

(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．

(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．

典型例题十三

例13　如图，是正方形，垂直于平面，过且垂直于的平面交、、分别于点、、，求证：，．

分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证，可证平面，为此须证、，进而转化证明平面、平面．

证明：∵平面，平面，

∴．

又∵为正方形，

∴．

∴平面．

∵平面，

∴．

又∵平面，

∴．

∴平面．

又∵平面，

∴，同理可证．

说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．

典型例题十四

例14　如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．

已知：在平面内，点，，，，垂足分别是、、，．求证：．

证明：∵，

∴为在内的射影．

∵，，

∴．

同理可证：．

又∵，，，

∴．

说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知，为平面外一点，，求与平面所成角．

典型例题十五

例15　判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．

(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（　　）

(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（　　）

(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（　　）

(4)过点垂直于直线的所有直线都在过点垂直于的平面内．（　　）

(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（　　）

解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行　②异面，因此应打“×”号

(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．

(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．

(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点垂直于直线的平面惟一，因此，过点且与直线垂直的直线都在过点且与直线垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．

(5)三条共点直线两两垂直，设为，，且，，共点于，

∵，，，且，确定一平面，设为，则，

同理可知垂直于由，确定的平面，垂直于由了确定的平面，

∴该命题应打“√”号．

说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．

典型例题十六

例16　如图，已知空间四边形的边，，引，为垂足，作于，求证：．

分析：若证，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证垂直平面中两条相交直线即可．

证明：取中点，连、，

∵，∴．

又∵，∴，∴，

又，∴

又，∴，，

又，∴．

典型例题十七

例17　如果平面与外一条直线都垂直，那么．

已知：直线，，．求证：．

分析：若证线面平行，只须设法在平面内找到一条直线，使得，由线面平行判定定理得证．

证明：(1)如图，若与相交，则由、确定平面，设．

．

(2)如图，若与不相交，

则在上任取一点，过作，、确定平面，设．

．

典型例题十八

例18　如图，已知在中，，线段，，为垂足．

求证：不可能是的垂心．

分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．

证明：如图所示，假设是的垂心，则．

∵，∴，

∴，∴．

又∵，∴，

∴，

∴，这与已知矛盾，

∴假设不成立，故不可能是的垂心．

说明：本题只要满足，此题的结论总成立．不妨给予证明．

典型例题十九

例19　在空间，下列哪些命题是正确的（　　）．

①平行于同一条直线的两条直线互相平行

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行

③平行于同一个平面的两条直线互相平行

④垂直于不一个平面的两条直线互相平行

A．仅②不正确　　　　B．仅①、④正确

C．仅①正确　　　　　D．四个命题都正确

分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线平面，，，且，则，，即平面内两条直交直线，都垂直于同一条直线，但，的位置关系并不是平行．另外，，的位置关系也可以是异面，如果把直线平移到平面外，此时与的位置关系仍是垂直，但此时，，的位置关系是异面．

③如图，在正方体中，易知，，但，因此该命题是错误的．

④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．

综上可知①、④正确．

∴应选B．

典型例题二十

例20　设，为异面直线，为它们的公垂线

(1)若，都平行于平面，则；

(2)若，分别垂直于平面、，且，则．

分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明．

　　　　　
图１　　　　　　　　　　　图２

证明：(1)如图1，在内任取一点，设直线与点确定的平面与平面的交线为，

设直线与点确定的平面与平面的交线为

∵，，∴，

又∵，，∴，，

∴．

(2)如图2，过作，则，

则

又∵，∴垂直于由和确定的平面．

∵，∴，，∴．

∴也垂直于由和确定的平面．

故．

说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线，构造出平面，即由相交直线与确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得．

典型例题二十一

例21　如图，在正方体中，为异面直线与的公垂线，求证：．

分析：证明，构造与、都垂直的平面是关键．由于是和的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用．

证明：连结，由于，，

∴．

又，，

∴．　　　　①

∵，，

∴．

∵四边形为正方形，

∴，，

∴，

而，∴．

同理，，

∴．　　　②

由①、②可知：．

典型例题二十二

例22　如图，已知为外一点，、、两两垂直，，求点到平面的距离．

分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．

解：过作于点，连、、，

∴，，

∵，

∴≌≌，

∴，

∴为的外心．

∵、、两两垂直，

∴，为正三角形，

∴，∴．

因此点到平面的距离．

说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．

(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识．

(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结．

典型例题二十三

例23　如图，已知在长方体中，棱，，求直线和平面的距离．

分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解．

解：如图，∵，且，，

∴．

从而点到平面的距离即为所求．

过点作于，

∵，且，

∴．

又，

∴．

即线段的长即为所求，

在中，，

∴直线到平面的距离为．

说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解．

典型例题二十四

例24　、分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为，，，．求线段的长．

分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线、所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出之长．

解：如图，在平面内，过作，过作，两线交于．

∵，

∴就是、所成的角，

．

∵，

∴四边形是矩形．连，

∵，，且，

∴．

∵，∴．∵，∴．

在中，得，∴．

说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．