高二下学期期末测试题

　　　高二数学第二学期期末试卷3

一；选择题（每小题5分，共计60分）

【注意】请把选择题答案填写在答题卡上！

1．设、表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是

Ａ、若，∥，则∥． Ｂ、若，∥，则∥．

Ｃ、若∥，⊥，则⊥． D、若∥，⊥，则⊥．

2．在棱长为的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，与AD成异面直线，且距离为的棱共有

A、2条　　　B、3条　　　 C、4条　　　 D、5条

3．正四棱锥P—ABCD的侧面PAB为等边三角形，E是PC的中点，是异面直线BE与PA所成角的余弦值为　　　　　　　　 

A、　　　 B、　　  C、　　　　D、

4．已知二面角—l—的大小为，两异面直线、，⊥，⊥，则、所成角等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A、　　  B、　　　　C、　　　　 D、或

5．若斜线l与平面所成角为，在内任作l的异面直线，则l与所成的角有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

A、最大值，最小值　　　　　　 B、最大值，最小值

C、最大值，最小值　　　 　 D、不存在最大值和最小值

6．E，F分别是三棱柱ABC－A₁B₁C_­1的侧棱BB₁和CC₁上的点，且B­₁E=CF，则四棱锥A–BEFC的体积是原三棱柱体体积的　　　　

　A、　　  B、　　　 C、　　　 D、

7．平行六面体的棱长都为，从一个顶点出发的三条棱两两都成60⁰角，则该平行六面体的体积为　　　　　　　 

A、　　  B、　　　　C、　　　　 D、

8．如图，在斜三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，∠BAC=90⁰，BC₁⊥AC，则C₁在底面ABC上的射影H必在

A、直线AB上　　　B、直线BC上　　　

C、直线AC上　　　D、△ABC内部

9．在下列条件中,可判断平面与平行的是

A、、都垂直于平面

B、内存在不共线的三点到的距离相等

C、、是内两条直线,且∥,∥

D、,是两条异面直线,且∥,∥,∥,∥

10．设地球半径为R，在北纬30⁰圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120⁰，那么这两地间的纬线之长为

A、 　 B、 C、　　D、

11．如图下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是

12．如图, 在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中, P是侧面BB₁C₁C内一动点, 若点P到直线BC的距离是点P到直线C₁D₁距离的2倍, 则动点P的轨迹所在的曲线是

A、  直线  B、 椭圆  C.、 双曲线  D、 抛物线

 

二：填空题（每小题4分，共计16分）

13．长方体的三条棱长、、c成等差数列，对角线长为，表面积

为22，则该长方体的体积＝　　　　　　　　　 。

14．已知正四棱锥P－ABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60⁰，则该正四棱锥的侧面积是　　　　　　　　　　 ．

15．三棱锥P－ABC的四个顶点在同一球面上, 若PA⊥底面ABC，底面ABC是直角三角形，PA＝２，AC＝BC＝１，则此球的表面积为　　　　　　　

16．如图，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，给出三个结论：

①四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁为直四棱柱；

②底面ABCD为菱形；

③AC₁⊥B₁D₁．

以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，

可以得到三个命题，其中正确命题的个数为　　　　．

三：解答题（共计74分）

17．（本题10分）已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点

求证：MN⊥AB

18．（本题12分）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝

AD＝，PA⊥平面ABCD，PA＝，Q为PA的中点

（1）求Q到BD的距离；

（2）求P到平面BQD的距离。

19．（本题12分）如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝AA₁，

∠BAC＝90⁰，D为棱BB₁的中点．

（1）求异面直线C₁D与A₁C所成的角；

（2）求证：平面A₁DC⊥平面ADC．

20．（本题13分）如图，△ABC中，AC＝BC，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2，F为BE的中点，DF∥平面ABC，

（1）求CD的长；

（2）求证：AF⊥BD；

（3）求平面EDB与平面ABC所成的二面角的大小．

21．（本题13分）如图，将长，宽AA₁＝3的矩形沿长的三等分线处折迭成一个三棱柱，如图所示：

(1)求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；

(2)求三棱锥A₁－APQ的体积.

22．（本题14分）如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.

（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（2）求PC与平面PBD所成的角；

（3）在线段PB上是否存在一点E，

使得PC⊥平面ADE？若存在，请加

以证明，并求此时二面角A—ED—B

的大小；若不存在，请说明理由。

高二数学试卷

参考答案及评分标准

 一：选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	C	B	D	A	B	C	A	D	A	C	B

二：填空题（每小题4分，共计16分）

 13.  6体积单位；　 14.　面积单位　　15.　　16.　1个

三：解答题（共计74分

【第17题答案】：

…………4分

连接PD，取PD的中点E，连接AE、NE

…………证出四边形MNEA为平行四边形

…………8分

…………证出AB⊥平面PAD

…………10分

…………AB⊥AE

∴AB⊥MN

说明：其他证法适当给分。

【第18题答案】

（1）作AE⊥BD于E，连接QE

………………证出QE⊥BD,

…………4分

指出BD为Q到BD的距离

…………8分

…………6分

在RT△QAE中求出QE＝

（2）证明：BA⊥平面PAC

…………10分

在三棱锥P－BQD中：

…………12分

求出：P到平面BQD的距离为

【第19题答案】：

（1）连结AC₁交A₁C于点E，取AD中点F，连结EF，则EF∥C₁D．

…………2分

∴直线EF与A₁C所成的角就是异面直线C₁D与A₁C所成的角．

设，

则 ，

．　　

．

中，，，

直三棱柱中，，则．

．

…………6分

，

…………7分

异面直线与所成的角为．

（2）直三棱柱中，，平面．

…………8分

则．

又，，，

…………10分

则， 于是．

A₁D⊥　

平面．　 又平面，

…………12分

平面平面．

【第20题答案】：

（1）　　　　　  取AB中点G，连FG、CG，则FG∥AE，

又∵AE和CD都垂直于平面ABC，

∴AE∥CD，∴ FG∥CD，

∴F、G、C、D四点共面．

…………2分

又∵平面FGCD∩平面ABC＝CG，DF∥平面ABC，

…………3分

∴DF∥CG，∴四边形FGCD是平行四边形，

…………4分

∴．　

（2）直角三角形ABE中，AE＝AB，F是BE的中点，

∴AF⊥BE，

又∵△ABC中，AC＝BC，G是AB中点，∴CG⊥AB，

又∵AE垂直于平面ABC，

∴AE⊥CG，又AE∩AB＝A，∴CG⊥面ABE．

∵DF∥CG，∴DF⊥面ABE，∴AF⊥DF，

又∵BE∩DF＝F，

…………8分

∴AF⊥面BED，∴AF⊥BD．　

…………10分

（3）延长ED交AC的延长线于点M

­……………………证明出∠ABM＝90⁰

…………12分

……………………证明出∠EAB为二面角E－BM－A的平面角

在三角形EBA中：∠EAB＝45⁰

…………13分

∴平面EDB与平面ABC所成的二面角的大小为45⁰

【第21题答案】：

…………1分

（1）依题意知：

三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，

且侧棱AA₁＝3，底面边长为，

延长QP交BC延长线于点E，连AE

在△ACE中， ，，∠ACE=60°，于是AE=3

在△QCE中：PB∥QC, BP=1，CQ=2

…………3分

∴B为EC的中点，

∴AB=BC=BE　 ∴EA⊥AC

∵QC⊥平面ABC,AC为QA在平面ABC内的射影

…………5分

∴EA⊥QA

∴∠QCA为二面角Q－EA－C的平面角

在RT△QCA中：∠QCA＝

即：平面APQ与面ABC所成锐二面角的正切值为…………7分

（Ⅱ）连， 的面积为　 ……………………8分

点Q到平面的距离为 　　　　　 ……………………10分

∴………………13分

【第22题答案】：

 (1)∵PD⊥底面ABCD，

∴AC⊥PD，

又∵底面ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，

…………2分

∴AC⊥平面PBD，　　　　　　　　　　

…………4分

又AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD.　

（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，

AC⊥平面PBD，

∴PC在平面PBD内的射影是PO，

…………6分

∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，　　　

∵PD=AD,

∴在Rt△PDC中，PC=CD，

而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，

…………9分

∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°.

即PC与平面PBD所成的角为30°.　　　　　

（3）在平面PBD内作DE⊥PO交PB于点E，连AE，

则PC⊥平面ADE.以下证明：

由（1）知，AC⊥平面PBD，

∴AC⊥DE，

又PO、AC交于点O，

∴DE⊥平面PAC，

∴DE⊥PC，（或用三垂线定理证明）

而PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，

又∵AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，

∴PC⊥平面ADE，由AC⊥平面PBD，

∴过点O作OF⊥DE于F，

连AF，由三垂线定理可得，AF⊥DE，

…………12分

∴∠OFA是二面角A—ED—B的平面角，　　　　 

设PD=AD=a，在Rt△PDC中，

求OF=a,而AO=a,

…………14分

∴在Rt△AOF中，∠OFA=60°，

即所求的二面角A—ED—B为60°.