2004－2005学年度下学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（1）— 平面的基本性质，两直线的位置关系
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．若直线上有两个点在平面外，则 （ ）
A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内
2．在空间中，下列命题正确的是 （ ）
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形
D．有一组对角相等的四边形是平面图形
3．在空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．用一个平面去截正方体，则截面形状不可能是 （ ）
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5．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，
那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）
A．90° B．45°
C．60° D．30°
6．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面
7．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）
A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[60°，120°]
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① BM与ED平行； ② CN与BE是异面直线；
③ CN与BM成
角； ④
DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②④
C.③④ D．②③④
9．梯形ABCD中AB//CD，AB
平面α，CD
平面α，则直线CD与平面α内的直线的位
置关系只能是 （ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交
10．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE ：EB＝AF ：FD
＝1 ：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则 （ ）
A．BD//平面EFGH且EFGH是矩形 B．EF//平面BCD且EFGH是梯形
C．HG//平面ABD且EFGH是菱形 D．HE//平面ADC且EFGH是平行四边形
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二．填空题（本题每小题6分，共24分）
11．若直线a, b与直线c相交成等角，则a, b的位置关系是 ．
12．在四面体ABCD中，若AC与BD成60°角，且AC＝BD＝a，则连接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为 ．
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14．把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，
使A、C的距离等于a，如图所示，则异面直线AC
和BD的距离为 ．
三、解答题（共76分）
15．（12分）已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线 .
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16．（12分）在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足
=k.求证：M、N、P、Q共面.
17．（12分）已知：平面
求证：b、c是异面直线
18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，
并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2，EF=
，求AB和CD所成角的大小.
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中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．
20．（14分）在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的
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（1）求证：四边形B′EDF是菱形；
（2）求直线A′C与DE所成的角；
参考答案（一）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 | D | C | D | C | B | D | A | C | B | B |
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．平行、相交或异面 12． 
13．
14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 证明：∵A、B、C是不在同一直线上的三点
∴由A、B、C确定一个平面
, 又
16．(12分) 证明：∵AM∶MB=CN∶NB
∴MN∥AC ∵DQ∶QA=DP∶PC
∴PQ∥AC∴MN∥PQ ∴M、N、P、Q共面. 
17．(12分) 反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交
18．(12分) 解：连结BD，在BD上取点G，使BG∶GD=1∶2，
连结EG、FG，在△BCD中，∵
∴EG∥CD
同理FG∥AB
∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD
所成的角.
在△BCD中， ∴EG∥CD，CD=3，BG∶GD=1∶2 ∴EG=1
在△ABD中， ∴FG∥AB，AB=3，FG∶AB=2∶3 ∴FG=2
在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=，由余弦定理，得
∴∠EGF=120°,EG和FG所成的锐角为60°.∴AB与CD所成的角为60°.
19．（14分）
解： 连接FD，在面AFD内过E作EO∥AF交FD于O，则∠OEC为异面直线AF与CE的所成角.
且O为DF的中点。又∵E为AD的中点，∴EO=
.
∵⊿ABC和⊿ACD均为等边三角形，且边长为 AF、CE分别是它们的中位线，
∴
，在Rt⊿DFC中，
.
在⊿OEC中，
.
即异面直线AF与CE所成的角的余弦值为
.
20．(14分)
|
a,
下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EG
ABA′B′知，
B′EGA′是平行四边形.
∴B′E∥A′G,又A′F
DG,∴A′GDF为平行四边形.
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面
故四边形B′EDF是菱形.
（2）解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，
则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.
在△A′CP中，易得A′C=
a，CP=DE=a，A′P=
a
由余弦定理得cos∠A′CP=
，故A′C与DE所成角为arccos.