二00六年振文中学“元旦”高二数学竞赛试题
班别 姓名 分数
（时间：100分钟, 满分150分）
一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分)
1、已知
是奇函数，且对任意整数
都有
，则
=
A，2006 B，
2、函数
的一个递增区间是
A，
B，
C，
D，
3、下列四个说法中，正确的是
①，必然事件的概率为1； ②，概率为1的随机事件是必然事件；
③，不可能事件的概率为0； ④，概率为0的随机事件是不可能事件。
A，①②③④ B①③ C，②④ D，①②
4、当
时，直线
与曲线
所围成的图形的面积是
A，1
B，
D，
5、函数
上的最大值与最小值之差为
,则的
值
为
A ，2或
B，2或或4 D，2
6、若
，则
的取值范围是
A，
B，
C，
D，
二、填空题（共6小题,每小题9分,共54分)
7、函数
的最大值是
.
8、若n是正整数，定义n！=1×2×3×…×（n-1）×n,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2005！+2006！，则m的末位数字为 .
9、在一个半径为1的球内放置一个体积最大的正方体，再在正方体内放置一个表面积最大的圆锥，则这个圆锥的体积是 .
10、已知在
中，
，
，则的面积等于
.
11、抛掷两个骰子, 所得两个点数之差的绝对值为2的概率等于 .
12、焦点为
，
，离心率为
的椭圆方程为
.
三、解答题（共3小题,每小题20分,共60分）.
13、已知向量
，
.
（Ⅰ）当
时，求
；
（Ⅱ）求
的最大值.
14、定义在
上的函数
满足：
①，对任意
都有
；
②，当
时，有
；
（I），求
的值，并判断的奇偶性；
（II），试判断的单调性，并证明你的结论.
15、从1、2、3、4这4个数中任取两个数，求它们之积，共有6种情形：
，
，
，
，
，
.
（I）求各种积的概率；
（II）我们定义：“任两数之积的平均数”=
，现从1、2、3、
n这n个数中任取两个数相乘，试求其
“任两数之积的平均数”的值.
（参考公式：
；
；
）
参考答案：
一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分)
1、C 2、A 3、B 4、D 5、A 6、D
二、填空题（共6小题,每小题9分,共54分)
7、2 8、3 9、
10、3 11、
12、
三、解答题（共3小题,每小题20分,共60分）。
13、解：（Ⅰ）
，故
；
（Ⅱ）因为
，
当且仅当
时，取得等号，故
。
14、解：（I）令
有
，得
，
令
有
，得
，
所以为奇函数；
（II）设
，可得
，
，
这时
，即
。
所以在上为减函数。
15、解：（I）每个积的概率为
；
（II）任取两数相乘，共有积的个数是：
，
所以所求的“任两数之积的平均数”=
，
下面求和：
。
把这
个积排成一个如下的数表：
、、、、 
、、、 
、
、
竖着相加得：+
+
++
=
+
++
=
=
=
=
所求的“任两数积的平均数”=
=
。