德州市2005-2006学年度高二年级期末考试
高二数学(理)
一、选择题
1.=( )A. B. C. 2 D.-2
2.在抛物线y2=2px(p>0)上,横坐标为4的点到焦点的距离是5,则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
3.中心在坐标原点,离心率为的双曲线焦点在y轴上,则它的渐近线方程为( )
A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x
4.椭圆的内接正方形的面积是( )
A. B.12 C.24 D.48
5.用数学归纳法证明(n是正整数)时,当n由k到k+1,不等式左边的变化是( )
A.增加一项 B.增加和两项且减少一项
C增加和两项D.增加一项
6. 空间四边形OABC中, 点M在OA上,且 =2,N为BC的中点,则等于()
A. B. C. D.
7.己知双曲线的两个焦点为,,p是此双曲线上一点且则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
8.己知F1,F2分别为椭圆的左右焦点,M为椭圆上的一点,MF1垂直于x轴,且∠F1MF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9. 的最小值是()
A. B. C. D.
10.空间不共面的四点O、A、B、C,若=0,且OA=OB=OC,则<>=( )
A.450 B.600 C.900 D.1350
11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点p是侧面BB1C1C内一动点,若点p到直线
BC与直线C1D1的距离相等,则动点p的轨迹是( )
A.双曲线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线
12.在以下命题中,不正确的个数为( )
①共线的充要条件。②若,则存在惟一的实数使③对空间任意一点O和不共线三点A,B,C若,则P、A、B、C四点共面。
④若 为空间的一个基底,则 构成空间的另一个基底
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
13. 己知且则x=
14. 直线x-y+1=0和椭圆相交于A、B两点,则弦
15. 把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,点E、F分别为AD、BC的中点,点O为原正方形ABCD的中心,则折起后∠EOF= .
16.设x1,x2 R常数a>0,定义运算,等号右边是通常的乘法运算,如果在平面直角坐标系中,动点p的坐标(x,y)满足关系式:,则动点p的轨迹方程是
17.已知f(z)=1+-,且f(-)=10+3i,求复数.
18.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,G分别是DD1、BD、BB1的中点
(1) 求证:EFCF。(2)求EF与CG所成角的余弦值。
19.若一直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且 ⊥,坐标原点O在直线AB的射影为D(2,1),求该抛物线的方程.
20.是否存在实数a、b使等式22+42+62+…+(2n)2=n(n+1)(an+b)对任意的正整数n都成立,若不存在,说明理由;若存在,试确定a,b的值,并用数学归纳法证明之.
21.直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F是CE上的点,且BF平面ACE
(1)求证:AE平面BCE(2)求二面角B-AC-E的大小(3)求点D到平面ACE的距离。
22.(本小题满分14分)已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且·=0,BC=2AC,
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆上是否存在两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO,且PQ平行于AB,并说明理由.
参考答案
DCDAB BACCC DC
x=-6 120º y2=4ax(a>0)
17.解:f()=1+z- f(-z)=1-z+…………2分
设z=a+bi (a、b∈R) 由f(-z)=10+3i得
1-(a+bi)+a-bi=10+3i
即………………6分
解方程组得…………………………10分
所以复数z=5-3i……………12分
18.证明:如图,以D点为原点,建立空间直角坐标系,
(1)则
…………………………………………2分
∴
∴………………………………6分
(2)
…………………………………………………………8分
故EF与CG所成角的余弦值为…………………………………………12分
19. 解:由题意知直线OD的斜率为,所以直线AB的斜率为-2,且过D点,
∴直线AB的方程为2x+y-5=0,………………………………2分
与y2=2px联立消去x得
y2+py-5p=0…………………………………4分
设A(x1,y1), B(x2,y2)则因 ⊥,所以x1x2+y1y2=0……………………6分
∵y1+y2=-p,y1y2=-5p,
x1x2=…………………………8分
-5p=0得p=………………………10分
所以所求抛物线的方程为y2=………………………………12分
20. 解:存在,
当n=1时22=1×2×(a+b) 得a+b=2
当n=2时 22+42=2×3(2a+b) 得6a+3b=10
所以得a= b=…………………………………4分
证明:⑴当n=1时,由以上知等式成立…………………6分
⑵ 假设当n=k时等式成立,即
22+42+62+…+(2k)2=k(k+1)( k+)
则22+42+62+…+(2k)2+[2(k+1)]2= k(k+1)( k+)+[2(k+1)]2…………8分
=(k+1)( k2+k+4k+4)=(k+1)( k2+k+4)=(k+1)(k+2)( k+2)
=(k+1)[(k+1)+1] [(k+1)+ ]
所以当n=k+1时等式也成立.…………………………10分
由⑴⑵知对于任意正整数n等式22+42+62+…+(2n)2=n(n+1)( n+)都成立…12分
21.(1)证明:∵BF平面ACE ∴BFAE
∵D-AB-E是直二面角 CBAB
∴CB平面ABE
∴CBAE CBBF=B
∴AE平面BCE……………………………………3分
(2)以线段AB的中点O为原点,建立空间直角坐标系
则AE=(1,1,0) AC=(0,2,2)………………………………5分
设平面AEC的一个法向量n =(x,y,z)
则 即
令x=1 得n(1,-1,1)
又设平面BAC的一个法向量为m(1,0,0)……………………7分
Cos<m,n>=
故二面角B-AC-E的大小为arccos…………………………9分
(3)AD∥E轴, AD=(0,0,2)
故点D到ACE之距为………………………………12分
22.(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0)
设点P(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y), ……………2分
由已知可得
(x+6)(x-4)+y2=0
则2x2+9x-18=0,x=或x=-6. ……………4分
由于y>0,只能x=,于是y=.
∴点P的坐标是(,)……………6分
(2) 直线AP的方程是x-y+6=0. ……………8分
设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又-6≤m≤6,解得m=2. ……………10分
椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有
d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=(x-)2+15,
由于-6≤x≤6, ∴当x=时,d取得最小值 ……………14分
解(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图所
示的直角坐标系
则A(2,0),设所求椭圆的方程为: =1(0<b<2),
由椭圆的对称性知OC=OB,由·=0得AC⊥BC,
∵BC=2AC,∴OC=AC,
∴△AOC是等腰直角三角形,∴C的坐标为(1,1),
∵C点在椭圆上
∴=1,∴b2=,所求的椭圆方程为=1 ……………6分
(2)由于∠PCQ的平分线垂直OA(即垂直于x轴),不妨设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k,直线PC的方程为:y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1, ……………8分
由 得:(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(*) ……………10分
∵点C(1,1)在椭圆上,∴x=1是方程(*)的一个根,则其另一根为,设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),xP=, 同理xQ=,
kPQ=………12分
而由对称性知B(-1,-1),又A(2,0) ∴kAB=
∴存在两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO,且PQ平行于AB。………14分