北京市海淀区2005-2006学年度第一学期期中数学试卷
高二数学
2005．11
班级______ 学号______ 姓名______ 总分______
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若a<0,b>0，且a+b<0，则下列不等式中成立的是（ ）
（A）-b<a<b<-a
（B）-b<a<-a<b
（C）a<-b<b<-a
（D）a<-b<-a<b
2．设a、b、c、d∈R，且a>b，c>d则下列一定成立的不等式为（ ）
（A）a-c<b-d
（B）ac>bd
（C）a-d>b-c
（D）
3．直线
的倾斜角为（ ）
（A）150° （B）120° （C）60° （D）-60°
4．x>3是
的（ ）
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．直线
，
互相垂直，则a的值为（ ）
（A）-3 （B）1
（C）0或
（D）1或-3
6．已知直线
和直线kx-y-1=0，若两直线的夹角为60°，则k的值为（ ）
（A）
或0 （B） （C）
（D）0
7．用一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，菜园的最大面积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．若
，
，且
分别是直线
，
的方向向量，则a，b的值分别可以是（ ）
（A）2，1 （B）1，2 （C）-1，2 （D）-2，1
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案添在题中横线上。
9．不等式
的解集为_______________。
10．设a为实数，则
与
的大小关系为___________。
11．函数y=3-x+x+4的最小值为______________________。
12．若点(x，y)在直线3x+4y+25=0上移动，则
的最小值为__________。
三、解答题：本大题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13．（本题满分8分）
解不等式
。
14．（本题满分8分）
已知点A（4，5），点B（1，2），点C（12，1），点D（11，6，）求四边形ABCD对角线的交点P的坐标。
15．（本题满分8分）
设a，b，c，d都是实数，且
，
，证明ac+bd≤1。
16．（本题满分10分）
已知过点P（1，4）的直线l在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线l的方程。
17．（本题满10分）
某工厂计划用甲，乙两台机器生产A、B两种产品，每种产品都要依次进行甲、乙机器的加工，已知生产一件A产品在甲、 乙机器上加工的时间分别为2小时和3小时，生产一件B产品在甲、乙机器上加工的时间分别为4小时和2小时，甲、乙机器每周可分别工作180小时和150小时，若每件A产品的利润是40元，每件B产品的利润是60元，问此工厂应如何安排生产才能获得最大的利润（即如何确定一周内每种产品生产的数量）。
附加题：（做对者加10分）
设
为奇函数，求a的值，并证明在R上f(x)为增函数。
高二数学期中练习参考答案
一、选择题：
1．C，2．C ，3．B， 4．B，5．D，6．A，7．B，8．A
二、填空题：
9．（－∞，-3）∪（-3，0）∪（1，2）；
10．
；
11．7；
12．25．
三、解答题
13．原不等式等价于
即
分
由（1）解得-6<x<3。由（2）解得x<-2或x>-1…………6分
所以不等式的解集为{x-6<x<-2或-1<x<3}。…………………8分
14．证明：解：设P的坐标为（x，y），则
由B，P，D共线，得
即2x-5y+8=0 （1）………………3分
由A，P，C共线，得
即x+2y-14=0 （2）………………6分
由（1）（2）解得
所以点P的坐标为（6，4）………………………8分
15．证明：因为a，b，c，d都是实数，所以ac+bd≤ac+bd……………3分
…………5分
…………8分
其它正确解法（见课本第28页）按相应步骤给分。
16．解：设
（k<0）l在两轴上的截距分别为a,b…………2分
则
b=4-k，因为k<0，-k>0，
………………………………6分
…………………………8分
当且仅当
即k=-2时a+b取得最小值9……………………………………9分
所以，所求的直线方程为y-4=-2(x-1)，即2x+y-6=0………………………………10分
17．解：设A，B两种产品一周的产量分别为x件，y件，总利润为S，则
…………3分。
作出可行域（图略）……………………6分
目标函数为S=40x+60y作直线l: 40x+60y=0，把l向右上方移至过
2x+4y=180与3x+2y=150交点，M（30，30）处时，l与原点距离最大。…………8分
此时S=40x+60y取得最大值为3000。 …………9分
因此每天生产A，B产品均为30件时，工厂可获得最在利润3000元。…………10分
附加题：
解：对任意实数x都有
，所以函数的定义域为R。
因为为奇函数，所以对任意实数均有f(-x)=-f(x)成立。
当x=0时可得f(0)=0，求得
，所以f
。……3分
设
。
对于任意实数
当
时，
………………5分
…………………………………………8分
即
因此
。
即
。…………………………………………………………………9分
所以
在R上是增函数……………………………………10
由于篇幅，其它正确解法按相应步骤给分。