2005-2006省扬高中高二实验班数学期末试卷
一：选择题（每小题５分，共计60分）
1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180 个、
150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一
个容量为100的样本,记这项调查为①：在丙地区中有20个特大型销焦点，
要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为，则完成①、
②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 【 】
A．分层抽样，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简随机抽样法，分层抽样法
2．下列函数中, 在区间
上为减函数的是 【 】
A． 
B． 
C． 
D．
3．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 【 】
(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种
4．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为： 【 】
A 
B 
C 
D 
5．在正方体
中，
为
的中点，
为底面
的中心，
为棱
上任意一点，则直线
与直线
所成的角是 【 】
A．
B．
C．
D．
6．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则
等于 【 】
A． 0 B． 
C． 
D． 
7．已知
是异面直线，给出下列四个命题：① 必存在平面
，过
且
与
平行；② 必存在平面
，过且与垂直；③ 必存在平面
，与
都垂直；④ 必存在平面
，与的距离相等.其中正确的结论是【 】
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
8．若
展开式中的第5项是常数，则展开式中系数最大的项是
A． 第8项 B．第9项 C．第8项或第9项 D．第10项和第11项【 】
9．若函数
的图象可由函数
的图象绕原点顺时针旋转90°得到, 则等于 【 】
A．
B．
C．
D．
10．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象
如右图所示，则导函数y=f ¢(x)的图象可能为【 】
|
11．正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小为 【 】
A．30° B．
C．60°D．
12． 图中多面体是经过正四棱柱底面顶点B
作截面A1BC1D1而截得的, 且AA1
CC1.
|
的二面角,
AB1, 则这个多面体的体积为 【 】
A．
B． 
C．
D．
二：填空题（每小题５分，共计30分）
13．函数f (x)=ax (a>0且a¹1)在[1，2]中的最大值比最小值大
，则a的值为 。
14．设…
,则
…
。
15. 已知平面α和平面β交于直线
，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为
16．若曲线
在点P处的切线平行于直线
, 则点P的坐标为
17．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答)
18．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是
③他至少击中目标1次的概率是
其中正确结论的序号是____________（写出所有正确结论的序号）．
三：解答题
19．（本小题满分11分）
经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
| 排队人数 | 0—5 | 6—10 | 11—15 | 16—20 | 21—25 | 25人以上 |
| 概 率 | 0.1 | 0.15 | 0.25 | 0.25 | 0.2 | 0.05 |
（I）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？
20．（本小题满分12分）
在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
，M、N分别为AB、SB的中点.
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N—CM—B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离.
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－EFGH中，侧面PGH是边长为1的等边三角形，底面EFGH是菱形，∠GHE＝600,平面PGH⊥平面EFGH
(1)求证：HG∥平面PEF
(2)求证：PE⊥GH
(3)求二面角P－EF－H的大小。
22．（本小题满分12分）
设aÎR，f (x)为奇函数，且f (2x)=
。
（1）求a的值及f (x)的反函数f -1 (x)的解析式及其定义域；
（2）g(x)=
，若xÎ
时，f -1 (x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围。
23．（本小题满分13分）
已知
是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且
在
和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求c的值；
（2）在函数的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求
的取值范围．
2005-2006省扬高中高二数学期末试卷答案
一：选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | D | D | D | D | B | C | B | D | D | B | D |
二：填空题
13．
或
；14．
；15．
； 16．(１，０)；17．
；18．①、③；
三：解答题
19．【答案：】
解：（I）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20
人排队结算的概率是0.75.……………………６分
（Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为：
0.25+0.2+0.05=
，
一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为
；
一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为
；
一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为
；
所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：
，
所以，该商场需要增加结算窗口.………………12分
20．解：（1）取AC中点D，连结SD、DB.
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，又SB
平面SDB，∴AC⊥SB
（2）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连结NF，
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=SD=
=
=，
且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=
MB=，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=
=2，
∴二面角N—CM—B的大小是arctan2
（3）在Rt△NEF中，NF=
=，
∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴
S△CMN·h=S△CMB·NE，
∴h=
=
.即点B到平面CMN的距离为
21．答案：
∴PM⊥平面EFGH,ME为PE在平面EFGH内的射影
在菱形EFGH中，∠GHE＝600,可知EM⊥HG
∴PE⊥GH
(1) 可证明：∠PEM是二面角P－EF－H的平面角，
在Rt△PEM中，PE=EM
∴∠PEM=450(12’)
22．答案
解：(1)令t=2x，得f (x)=
∵f (x)是奇函数
∴f (x)=-f (-x) ∴a=1 ∴f (x)=
∴f -1(x)=
(-1<x<1)………………６’
(2) ≤
对于xÎ恒成立
即
对于xÎ恒成立
由（1）得k2≤1-x2对于xÎ恒成立
∴0<k≤
…………………
23．答案
解：⑴
∵在
和
上有相反单调性，
∴ x=0是的一个极值点，故
，
即
有一个解为x=0，∴c=0
…………4分
⑵ ∵交x轴于点B（2，0）
∴
令，则
∵在和
上有相反的单调性
∴
， ∴
……………6分
假设存在点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b，则
即 
∵ △=
又， ∴△＜0
∴不存在点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b．…9分
⑶ 依题意可令
………11分
∵
，∴当
时，
；
当
时，
故
……………………14分