第四讲 函数的单调性与奇偶性
一、内容摘要
1． 函数是奇(或偶)函数的定义；一函数是奇(或偶)函数的必要条件；函数奇偶性的判定方法；奇(或偶)函数的性质；两函数的和、差、积、商、复合的奇偶性的判定．
2． 函数单调性的定义；常见函数的单调区间；函数单调性的证明；两函数的和、差、积、商、复合的单调性的判定．
3． 函数的奇偶性与单调性的综合应用．
二、基本训练
1．
函数
在区间[－2，+∞]上是增函数，则
的取值范围是
（A）≥25 （B）=25 （C）≤25 （D）＜25
2．
函数
的单调性的正确说法是
（A）单调递减函数
（B）在(－∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数
（C）在(－∞，1)上是减函数，在(1，+∞)上是减函数
（D）除
=1点外，在(－∞，+∞)上是单调递减函数
3．
已知函数
，则
是：
（A）奇函数
（B）偶函数
（C）既是奇函数又是偶函数
（D）非奇非偶函数
4．
函数
（A）奇函数
（B）偶函数
（C）既是奇函数又是偶函数
（D）非奇非偶函数
5．
已知函数
是偶函数，则在(－∞，3)内是
（A）增函数
（B）有一部分递增另一部分递减
（C）减函数
（D）不能确定增减性
6．
已知函数
在
上是增函数，函数
是偶函数，则
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
7．
已知为偶函数，为
奇函数，且
，则有=＿＿＿＿＿；=＿＿＿＿＿．
8．
（1）函数
的递增区间是＿＿＿＿＿．；
（2）函数的
递减区间是＿＿＿＿＿．
9．
若为偶函数，其定义域为R，且在[0，+∞]上是减函数，则
与
的大小关系是＿＿＿＿＿．
10．
已知是定义在Ｒ上的偶函数，且它在
上单调递增，那么使
的实数
的取值范围是＿＿＿＿．
11． 函数
的反函数是＿＿＿＿．
12．
证明函数
的图象关于原点对称。
13．
已知常数
满足
，求证函数
在
上为减函数。
14． 讨论函数
的单调性．
15． 讨论函数
在
的增减性
16． 已知函数在区间(－∞，+∞)上是增函数，
∈R．
(1)证明：如果
≥0，那么
；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，请证明你的结论．
17． 已知函数是定义在R*上的减函数，并且满足
，
，（1）求的值；（2）如果
，求的取值范围．
18． 已知奇函数在定义域为(－1，1) 上单调递减，且满足条件：
的的取值范围．
19． 定义在R上的函数对一切
有
，且
，试判断的奇偶性．
20． 求函数
的反函数．
21． 若点（1，2）既在函数
的图象上，又在它的反函数的图象上，求的值．
22．
23．
已知函数的定义域是R，且对任意实数
总有
成立，求证是偶函数．
24．
若是定义在R上的偶函数，且当≥0时为增函数，那么使
＜
的实数的取值范围是＿＿＿＿＿．
25．
已知函数是奇函数，当
，时
，那么当
时，的表达式是＿＿＿＿．
26．
用定义证明
在
上是增函数
27．
函数
是偶函数，且不恒等于0，则为
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）可能是奇函数，也可能是偶函数
（D）既不是奇函数，也不是偶函数
28．
求下列函数的单调区间：
29．
下列函数中，在(－∞，0)内是减函数的有
（A）
（B）
（C）
（D）
30．
已知函数
是奇函数，函数
g在区间(－∞，3)为上减函数，在(3，+∞)上为增函数，求实数
的值．
31．
已知函数满足以下条件：定义域是一个闭区间，在定义域上严格单调，
，
，最大为
，求的定义域和值域．
32．
判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
33．
判断函数
在区间上的单调性，并用定义加以证明．
34．
已知
是
上的单调递增函数，求实数的取值范围．
35．
已知奇函数满足下列两个条件：
①存在常数p＞0使f (p)＝1；②当f (x1)，f (x2)，f (x1－x2)都有意义且f (x1)≠f (x2)时，
．
⑴求f (2p)、f (3p)、f (5p)的值；
⑵求证一定存在常数T，使得f (x＋T)＝f (x)；
⑶若0＜x＜2p时，f (x)＞0，求证：f (x)在区间(0，4p)上是单调递减函数．
36．
如果函数
在区间
上是减函数，求实数的取值范围．
37．
已知是定义在Ｒ上的奇函数，当
时，
，求在Ｒ上的表达式．
38．
设是定义在Ｒ上的偶函数，且它的图象关于直线
对称，已知
时，
，求当
时的表达式．
39．
若函数
不恒等于0
与
的图象关于原点对称，则
（A）是奇函数不是偶函数 （B）是偶函数不是奇函数
（C）既奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
40．
在所有定义域为R的函数中，一定不存在的函数是
（A）既是增函数，又是奇函数 （B）既是奇函数，又是偶函数
（C）既是偶函数，又有反函数 （D）两个互为反函数的函数是同一函数
41．
奇函数在[3，7]上为增函数，且最小值5，则在[－7，－3]上是
（A）增函数且最小值为－5
（B）增函数且最大值为－5
（C）减函数且最小值为－5
（D）减函数且最大值为－5
42．
设为定义在(－∞，+∞)上的偶函数，且在[0，+∞]上为增函数，则
，
，
的大小顺序是
（A）
（B）
（C）
（D）
43．
已知函数是R上偶函数，当x＜0时，为增函数，对于
＜0，
＜0，有
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
与
关系不确定
44．
已知函数的最小正周期为8，且等式
对一切实数x成立，则为
（A）奇函数非偶函数
（B）偶函数非奇函数
（C）奇函数也是偶函数
（D）非奇非偶函数
45．
若是偶函数，则
＿＿＿＿＿．
46．
已知是定义在Ｒ上的奇函数，且
，若当
时，
，则
＿＿＿．
47．
已知函数是R上的偶函数，当≥0时，
。
（1）用分段函数写出函数表达式；
（2）利用对称性画出其图象；
（3）指出其单调区间；
（4）利用图象指出在什么区间上＞0，在什么区间上＜0；
（5）求出函数的最值．
48．
求证函数
在区间
上单调递减