高二数学竞赛

杭州市第七届“求是杯”中学生数学竞赛

高二年级试卷

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (时间:95年4月2日上午8:30-10:30)

一.选择题(每小题3分,共30分)

1. 实数 满足且,那么(　　　)可化为

(A)cos-cos　　　　　　　　　　　　　　　  (B)cos-cos　

(C)cos-cos　　　　　　　　　　　　　　　  (D)cos-cos　

2. 长方体的全面积为11,十二条棱的和为24,那么这个长方体的一条对角线的长是(　　  )

　　(A)　　　　　　  (B)　　　　　　　 (C)5　　　　　　 (D)6

3. 若,且,,,那么M,N,P,Q这四个数的大小关系是(　　　)

　　(A)M>Q>P>N　　　 (B)M>P>Q>N　　 (C)Q>M>P>N　　  (D)P>M>Q>N

4. 方程的根的情况是(　　  )

　　(A)有两个正根　　　　　　　  (B)有两个负根

　　(C)仅有一个根　　　　　　　  (D)有一个正根和一个负根

5. 已知函数在区间()内是单调递增函数,那么实数a的取值范围是(　　　)

　　(A)　　　　  (B)　　　　　  (C)　　　　　 (D)

6. 若关于x的不等式有解,且解的区间长不超过5个单位,那么a的取值范围是(　　　)

　　(A)或　　　　　　  (B)或

　  (C)或　　　　   (D)或

7. 已知函数的最小正周期是10,且等式对一切实数成立,那么(　　　)

　　(A)是奇函数,但不是偶函数.　　　　 (B)是偶函数,但不是奇函数.

　　(C)既是奇函数,又是偶函数.　　　　 (D)既不是奇函数,又不是偶函数.

8. 在等差数列中,记(n=1,2,3,…,),若>0,<0,那么在中,最大值为(　　　)

　　(A)　　　　　   (B)　　　　   (C)　　　　   (D)

9. 已知真命题""和"",那么""是""的(　　　)

　　(A)必要非充分条件　　　　　　　　 (B)充分非必要条件

　　(C)充分必要条件　　　　　　　　　 (D)既非充分也非必要条件

10.称坐标平面内纵.横坐标都是整数的点为格点,那么抛物线所通过的格点有(　　  )

　　(A)0个　　　　 (B)1个　　　　　 (C)2个　　　　　  (D)2个以上

二.填空题(每小题4分,共40分)

11.如果三角形的三个顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(-8,0,那么它的内切圆方程是____________________.

12.方程arccos2x-3arcsin2x= 的解集是________________.

13.设圆C的方程为直线的方程为那么对任意实数k,圆C与直线的位置关系是_________.

14.在数列{}中,且,那么这个数列的前12项的绝对值之和是___________.

15.在三棱台中,已知底面ABC,且BB和底面ABC所成的角是,那么这个棱台的体积是__________.

16.设函数若对一切有那么=______________.

17.设函数 的图象沿x 轴正方向平移3个单位所得的图象为C,又设图象与C关于原点对称,那么所对应的函数解析式是_________.

18.设x的不等式的解集为A,关于x的方程tg(nx+) =tg的解集为B,且那么实数a的取值范围是___________.

19.已知sinA+sinB+sinC=cosA+cosB+cosC=0,那么sinA+sinB+sinC=______.

20.已知x,y0,x+y=,且,k是给定的常数,记S=sinx+siny+2ksinxsiny,那么S的最大值是_____________.

三.解答题(每小题20分,共60分)

21.已知实系数二次方程,都有实根,且按大小顺序排列每个方程都有一个根在另一方程的二根之间,试求证:

22.已知一个轴截面的顶角为的圆锥及其内切球,另有一圆柱外切于该球,这个圆柱的底在圆锥的底面上,且圆锥体积与圆柱体积之比为4:3,试求sin。

23.对任意正整数k,定义为k的数字之和的平方,(如=(1+2)=9),并令,求的值