杭州市第七届“求是杯”中学生数学竞赛
高二年级试卷
(时间:95年4月2日上午8:30-10:30)
一.选择题(每小题3分,共30分)
1.
实数
满足
且
,那么( )
可化为
(A)cos
-cos
(B)cos-cos
(C)cos-cos
(D)cos-cos
2. 长方体的全面积为11,十二条棱的和为24,那么这个长方体的一条对角线的长是( )
(A)
(B)
(C)5
(D)6
3.
若
,且
,
,
,
那么M,N,P,Q这四个数的大小关系是( )
(A)M>Q>P>N (B)M>P>Q>N (C)Q>M>P>N (D)P>M>Q>N
4.
方程
的根的情况是(
)
(A)有两个正根 (B)有两个负根
(C)仅有一个根 (D)有一个正根和一个负根
5.
已知函数
在区间(
)内是单调递增函数,那么实数a的取值范围是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6.
若关于x的不等式
有解,且解的区间长不超过5个单位,那么a的取值范围是( )
(A)
或
(B)
或
(C)
或
(D)
或
7.
已知函数
的最小正周期是10,且等式
对一切实数
成立,那么( )
(A)是奇函数,但不是偶函数. (B)是偶函数,但不是奇函数.
(C)既是奇函数,又是偶函数. (D)既不是奇函数,又不是偶函数.
8.
在等差数列
中,记
(n=1,2,3,…,),若
>0,
<0,那么在
中,最大值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
9.
已知真命题
"
"和"
",那么"
"是"
"的( )
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
10.称坐标平面内纵.横坐标都是整数的点为格点,那么抛物线
所通过的格点有(
)
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)2个以上
二.填空题(每小题4分,共40分)
11.如果三角形的三个顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(-8,0,那么它的内切圆方程是____________________.
12.方程arccos2x-3arcsin2x=
的解集是________________.
13.设圆C的方程为
直线
的方程为
那么对任意实数k,圆C与直线的位置关系是_________.
14.在数列{
}中,
且
,那么这个数列的前12项的绝对值之和是___________.
15.在三棱台
中,已知
底面ABC,
且B
B和底面ABC所成的角是
,那么这个棱台的体积是__________.
16.设函数
若对一切
有
那么
=______________.
17.设函数
的图象沿x 轴正方向平移3个单位所得的图象为C,又设图象
与C关于原点对称,那么所对应的函数解析式是_________.
18.设x的不等式
的解集为A,关于x的方程tg(nx+
) =tg的解集为B,且
那么实数a的取值范围是___________.
19.已知sinA+sinB+sinC=cosA+cosB+cosC=0,那么sin
A+sinB+sinC=______.
20.已知x,y
0,x+y=
,且
,k是给定的常数,记S=sinx+siny+2ksinxsiny,那么S的最大值是_____________.
三.解答题(每小题20分,共60分)
21.已知实系数二次方程
,
都有实根,且按大小顺序排列每个方程都有一个根在另一方程的二根之间,试求证:
22.已知一个轴截面的顶角为的圆锥及其内切球,另有一圆柱外切于该球,这个圆柱的底在圆锥的底面上,且圆锥体积与圆柱体积之比为4:3,试求sin
。
23.对任意正整数k,定义
为k的数字之和的平方,(如
=(1+2)=9),并令
,求
的值