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2004－2005学年度上学期
高中学生学科素质训练
高二数学同步测试（2）—不等式的证明
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的 （ ）
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．必要或充分条件
3．在
①
， ②
③
，
其中正确的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列函数中最小值是2的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
×
5．设
，则x，y的大小是
（ ）
A．x>y B．x=y C．x<y D．与m，n的取值有关
6．已知a、b、m是正实数，则不等式
（ ）
A．当a< b时成立 B．当a> b时成立
C．是否成立与m有关 D．一定成立
7．函数
有 （ ）
A．最大值是2 B．最小值是2 C．最大值是－2 D．最小值是2
8．如果
为不相等的非零实数，那么
的值是
（ ）
A．大于2 B．小于
或大于2
C．小于等于2 D．大于或小于2
9．在
中，a,b,c分别是
所对应的边，
，则
的取值范围是（ ）
A．（1,2） B．
C．
D．
10．设
的最值情况是 （ ）
A．有最大值2，最小值
B．有最大值2，最小值0
C．有最大值10，最小值
D．最值不存在
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若a、b、c、d∈R，且有
，
，则abcd的取值范围是
_______．
12．若
，则函数
的最小值是 ________.
13．若
的大小关系是________________________．
14．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以
公里／小时的速度匀速直达灾区，已知某市到灾区公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于
公里，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________________小时．（车身长不计）
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．求证：
．（12分）
16．已知A =
, B = x + 1, 当x ≠ 1时，试比较A与B的大小, 并说明你的理由.（12分）
17．已知a,b,c,d∈R,求证: ac+bd≤
．（12分）
18．已知a，b，
，且a+b+c=1，求证：
．（12分）
19．某种商品原来定价每件
元，每月将卖出n件.假若定价上涨
，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．
（1）若
（2）若
，求使售货金额比原来有所增加的
的取值范围．（14分）
20．已知0
< x < 1, 0 < a < 1，试比较
的大小．（14分）
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | B | C | D | A | A | C | B | C | A |
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．
12． 
13．
14．12
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）
[证明]：要证
．
，上式显然成立，以上推理可逆 
16．（12分）
[解析] 
A – B = 
=
，
由
> 0得x
< – 1或1 < x < 2
∴ 当x < – 1或1 < x < 2时, A > B； 当 – 1< x < 1或x > 2时, A < B；
当x = – 1或x = 2时, A = B．
17．（12分）
[证法1]:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2－2abcd+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc－ad)2≥(ac+bd)2
∴
≥ac+bd≥ac+bd. 故命题得证.
[证法2]:∵(a2+b2)(c2+d2)－(ac+bd)2=(bc－ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
∴
≥ac+bd≥ac+bd,即ac+bd≤
.
18．（12分）
[证法1]：∵a，b，∴
。
，
∴
又∵a+b+c=1，∴
∴
[证法]2：欲证原式成立只须证：
即：
∵a+b+c=1，
∵
， 
，
∴
以上推理可逆∴原不等式成立．
19．（14分）
[解析]：该商品定价上涨成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是
因而有：
，
，当且仅当10a+ax=10－ax,即
时成立．
．
（2）
20．（14分）
[解1 ]：
，
∴0 < 1 - x2
< 1, 
∴
∴
．
[解2 ]：
∵0
< 1 - x2
< 1, 1 + x > 1, ∴
∴
∴
．
[解3 ]：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴
∴
= 
∵0 < 1 - x2
< 1, 且0 < a < 1 ∴
∴
．